Inaktivierung von Proteinen und Zellen durch Laserbestrahlung von ...

Theorie 35
T = 0. Die Kugel mit dem Radius R stellt eine Wärmequelle dar, die mit einer
konstanten Rate A Wärme erzeugt. Die Temperatur an der Kugeloberfläche muss
stetig sein.
Die Größen, welche die Kugel beschreiben, sind mit dem Index 1 versehen, die
physikalischen Größen des umgebenden Mediums besitzen den Index 2.
Innerhalb der Kugel wird die Temperaturentwicklung durch die inhomogene Wärmeleitungsgleichung
mit Quellterm und außerhalb der homogenen Wärmeleitungsgleichung
ohne Quellterm beschrieben. Die genannten Randbedingungen werden
durch folgende Gleichungen ausgedrückt:
∂T1
K1
∂r
T1 = T2 =0 , für t =0für alle r (2.31)
T1 = T2 , für r = R für alle t (2.32)
∂T2
= K2
∂r
, für r = R für alle t (2.33)
Die Temperatur außerhalb einer Kugel mit Radius R kann nach Goldenberg [65]
für einen konstanten Quellterm
T2(r) = R3 �
A 1 K1
− J
rK1 3 K2
2
�
(2.34)
π
J =
�∞
0
e −y2t γ1 y3 (sin y − y cos y)[by sin y cos σy − (c sin y − y cos y)sinσy]
[(c sin y − y cos y) 2 + b2y2 sin2 dy (2.35)
y]
b = K2
K1
� κ1
κ2
, c =1− K2
K1
,γ1 = R2
κ1
,σ=
�
r
�
− 1
R � κ1
κ2
(2.36)
berechnet werden, wobei y die Integrationsvariable darstellt und r die Entfernung
von der Kugeloberfläche, für den die Lösung berechnet ist, in der Variable
σ enthalten ist. Die Heizrate A erhält man aus dem pro Volumen und Zeit absorbierten
Laserlicht. Die Gleichung 2.4 beschreibt die Temperatur T nach einer
Zeit t, wenn zum Zeitpunkt t =0dieWärmequelle A angeschaltet wird und bis
zur Zeit t der Kugel Wärme mit einer konstanten Rate zugeführt wird. Da die
thermische Diffusivität von Gold fast 900 mal höher ist als die von Wasser, kann
davon ausgegangen werden, dass die Partikel räumlich homogen geheizt werden.
Da die Wärmeleitungsgleichung in der Zeit linear verläuft, kann die Temperatur
nach einem kurzen Laserpuls der Länge ∆t d.h. einem zeitlich endlichen Quellterm
berechnet werden: