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Feature Extraktion 21
3.2 Spektralanalyse
Als Basis für alle weiteren Analyseschritte dient die Transformation des Audio-Signals
vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Während im ersten die Amplitude des Signals
als Funktion der Zeit dargestellt wird, ist das Signal im Frequenzbereich als Über-
lagerung einzelner Sinus- bzw. Cosinus-Wellen repräsentiert – die Amplitude also als
Funktion der Frequenz. Dieser Abschnitt beschreibt in Anlehnung an [32], [33] und [44]
die wichtigsten Grundlagen der Signalverarbeitung im Audiobereich.
3.2.1 Diskrete Fourier Transformation
Mathematische Grundlage für die Überführung ist die (Diskrete) Fourier Transforma-
tion (DFT). Sie ist eine lineare Abbildung eines Vektorraums in einen anderen, wobei
beide durch Orthonormal-Basen beschrieben sind.
Sei x(n) ein (periodisches) diskretes Signal im Zeitbereich, bestehend aus N Samples,
so wird das Frequenzspektrum X(k) (mit 0 ≤ k ≤ N − 1) durch die DFT wie folgt
berechnet:
X(k) =
N−1
n=0
2πn
−jk
e N x(n) (3.1)
Die einzelnen Koeffizienten k entsprechen den jeweiligen Frequenzen, die von 0Hz bis
zur Sampling-Frequenz (fs) in äquidistanten Abständen von ∆f = fs/N verteilt liegen.
Die Werte X(k) selbst sind dabei komplex. Aus ihnen können mithilfe der nachfolgen-
den Formeln der Betrag (bzw. die Amplitude) sowie die Phase jedes Frequenzanteils
berechnet werden.
A(k) =| X(k) |= Xr(k) 2 + Xi(k) 2 (3.2)
φ(k) = arctan
Xi(k)
Xr(k)
(3.3)
Es ist jedoch nicht möglich, aus den N reellen Eingangswerten des Signals x(n), doppelt
so viele – nämlich N komplexe und somit 2N reelle – unabhängige Werte zu erhalten.
Der Grund für dies Anzahl an Werten ist, dass die Koeffizienten 0 bis ⌈N/2⌉ die Fre-
quenzen von 0Hz bis zur Nyquist-Frequenz (fs/2) repräsentieren. Alle Frequenzen dar-