Automatische Erkennung von Cover-Versionen und Plagiaten in ...

Feature Extraktion 22
über sind laut Abtasttheorem mit den periodisch fortgeführten Amplituden enthalten -
die Koeffizienten entsprechen somit den komplex Konjugierten jener des unteren Halb-
bandes. Sie enthalten keine zusätzliche Information und können daher vernachlässigt
werden. Dass dies durchaus Sinn macht, wird auch klar, wenn man sich das Abtast-
theorem an sich vor Augen hält. Es besagt, dass man eine Abtastrate von mindestens
fs benötigt, um Frequenzen bis zu fs/2 darstellen zu können. Somit ist klar, dass al-
le im Audio-Signal vorhandenen Frequenzen im unteren Halbband liegen müssen. Von
diesem kann somit Betrags- sowie Phasenspektrum berechnet werden.
3.2.2 Fast Fourier Transformation
Aufgrund der großen Bedeutung der Diskreten Fourier Transformation in der Signal-
verarbeitung stellt sich die Frage nach einem effizienten Algorithmus zur computer-
gestützten Berechnung. Prinzipiell stellt eine Basistransformation – wie die Fourier
Transformation eine ist – eine Multiplikation eines Eingangsvektors der Länge N (hier
das Signal) mit einer Transformations-Matrix der Größe NxN dar. Eine derartige Be-
rechnung hat eine asymptotische Komplexität von O(N 2 ).
Um die Komplexität zu reduzieren wird bei der so genannten Fast Fourier Transfor-
mation (FFT) das Divide&Conquer-Prinzip angewandt. Anstatt die Transformation
auf das gesamte Signal anzuwenden, wird jeweils nur die Hälfte der Eingangswerte be-
trachtet – einmal jene mit geraden und einmal jene mit ungeraden Indizes. Diese beiden
wesentlich einfacher zu berechnenden Teil-DFTs werden im Anschluss wieder zusam-
mengefügt. Dass sie nur eine Länge von N/2 Ausgangswerten besitzen, während das
Gesamtergebnis doppelt so lang ist, stellt kein Problem dar, da die Koeffizienten im
Frequenzbereich periodisch fortgeschrieben werden können. Bei rekursiver Fortführung
dieses Verfahrens – das auch als Dezimation im Zeitbereich bezeichnet wird – lässt sich
die Komplexität auf O(N log N) reduzieren.
Weitere Performanzgewinne lassen sich durch eine iterative Implementierung des Algo-
rithmus sowie geeignete Speicherverwaltung erzielen. Hintergedanke der In Place FFT
ist es, die Daten so im Speicher zu halten, dass bei der Verschmelzung der Teilergebnis-
se keine Datenumschichtungen notwendig sind. Die dazu notwendige Reihenfolge der
einzelnen Teilergebnisse im Speicher lässt sich sehr einfach durch Umkehr der Bits der
eigentlichen Indizes ermitteln (vgl. [32], [33], [44]).