MECANIQUE DES FLUIDES. Cours et exercices corrigés - UVT e-doc

Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels
On désigne par F 1 et F 2 respectivement les normes des forces de pression du
fluide agissant au niveau des sections S 1 et S 2 .
A l’instant t le fluide de masse (dm 1 + M) est compris entre S 1 et S 2 . Son énergie
mécanique est :
E
mec
= E
pot
+ E
cin
= ( dm . g.
Z
1
1
+ MgZ)
+
1
2
dm . V
1
2
1
+
∫
S2
S ' 1
dmV .
2
2
A l’instant t’=(t+dt) le fluide de masse (M+dm 2 ) est compris entre S’ 1 et S’ 2 . Son
énergie mécanique est :
E'
dmV .
2
2
S2
mec
= E'
pot
+ E'
cin
= ( MgZ + dm2 . g.
Z
2
) + ∫ + dm2.
S '
1
1
2
V
2
2
On applique le théorème de l’énergie mécanique au fluide entre t et t’ :
« La variation de l’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces
extérieures ». On prendra en considération cette fois ci le travail des forces de
frottement visqueux dτ.
E'
mec
⇔ E'
−E
mec
mec
−E
= W
mec
Forces
de pression
+ ∑W
dτ
= P.
S . dx − P . S . dx
1
1
1
2
2
2
= F . dx − F . dx
1
+ ∑W
dτ
1
+ ∑W
dτ
= P.
dV − P . dV
1
2
1
2
2
2
+ ∑W
dτ
En simplifiant on obtient :
1 2
1 2 P1
P2
dm2 . g.
Z2
+ dm2.
V2
− dm1.
g.
Z1
− . dm1.
V1
= . dm1
− . dm2
+ ∑
2
2 ρ ρ
1
2
W d τ
Par conservation de la masse :
dm dm = dm
1
=
2
Et puisque le fluide est incompressible : ρ ρ = ρ
on aboutie à l’équation de Bernoulli :
1
= 2
,
V
2
2
−V
2
2
1
P2
− P1
+ + g(
Z
ρ
2
− Z ) =
1
∑W
dm
dτ
On défini la perte de charge entre les points (1) et (2) par
∑Wdτ
J12 = qui est la
dm
perte d’énergie par frottement visqueux par unité de masse qui passe.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés.
Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 91