Rhéologie aux interfaces des matériaux polymères multicouches et ...

Khalid Lamnawar
INSA de Lyon
2.2.1. Etudes théoriques
Les études théoriques s’appuient, pour la plupart, sur une approche de stabilité linéaire
similaire à celle proposée par Yih [1967]. Cette méthode est amplement décrite dans la
littérature mais on peut ici en rappeler le principe. Une perturbation infinitésimale
sinusoïdale de faible amplitude est introduite dans l’écoulement de base (la variable soumise
à la perturbation peut être la pression, le débit,…). Cette perturbation va induire une onde à
lʹinterface qui va se propager le long de lʹécoulement.
La méthode générale, proposée par Yih en 1967 et reprise ensuite dans lʹensemble des
publications consiste à faire une étude de stabilité linéaire pour des écoulements à très faibles
nombres de Reynolds. Pour lʹécoulement considéré et pour les conditions relatives au
modèle utilisé, on détermine la stabilité de lʹinterface en sʹintéressant au développement
dʹondes sinusoïdales de petites amplitudes, X ( xyt , , ) = X0
( y)exp[ iα
( x− ct)]
où X est la
variable soumise à la perturbation. Les termes α, x, c et t désignent respectivement le nombre
dʹonde (réel positif, inverse de la longueur d’onde de la perturbation), le sens de
lʹécoulement, la vitesse complexe de lʹonde et le temps, variables généralement
adimensionnalisées. Le signe de la partie imaginaire Im(c) de la vitesse complexe de l’onde
définit la stabilité de l’écoulement : Si il est négatif, les perturbations pourront s’amortir et
l’écoulement sera stable. Dans le cas inverse, les perturbations vont se développer et
s’amplifier.
Afin de connaître le signe de la partie imaginaire, on peut effectuer un développement
asymptotique aux ondes longues (α −> 0) ou aux ondes courtes (α ‐> ∞), où est décomposé en
puissances croissantes de α. On peut également résoudre numériquement le problème, ce
qui permet dʹaccéder à toutes les longueurs dʹonde. La stabilité est en général traduite en
terme de diagrammes de stabilité où lʹon trace le taux de croissance théorique Im(c) en
fonction du nombre dʹonde α, ou alors sous forme de contours de stabilité, délimitant des
zones stables et instables en fonction des divers paramètres.
Nous présenterons tout d’abord, après avoir détaillé les mécanismes physiques qui sont à
l’origine des instabilités interfaciales, les quelques résultats théoriques relatifs aux
écoulements de fluides newtoniens pour examiner le rôle des forces visqueuses. L’influence
des forces élastiques dues à la différence des contraintes normales sera ensuite présentée en
seconde partie.
2.2.1.1. Mécanismes physiques
Comme le note Chaigneau [1995], trois forces peuvent déséquilibrer une interface : les forces
capillaires, les forces visqueuses et les forces élastiques. Les articles consacrés au rôle de la
tension interfaciale sur la stabilité de l’écoulement pour des systèmes incompatibles sont peu
nombreux. Leurs résultats montrent que l’instabilité capillaire a de faibles conséquences sur
la stabilité des écoulements de polymères.
Partie A : Etat de l’art
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