Theoretical Neuroscience

2.5 Στατιχ Νονλινεαριτιεσ: Χοµπλεξ Χελλσ 75
A
+ Λ 2
2
Λ 1
2
0.2
0.1
B
0.2
0.1
C
0.3
0.2
0.1
0.0
-1.0 0.0 1.0
Θ
0.0
0
1
Κ/κ
2
3
0.0
-2 0 2
Φ
Φιγυρε 2.23 Σελεχτιϖιτψ οφ α χοµπλεξ χελλ µοδελ ιν ρεσπονσε το α σινυσοιδαλ γρατ−
ινγ. Τηε ωιδτη ανδ πρεφερρεδ σπατιαλ φρεθυενχψ οφ τηε Γαβορ φυνχτιονσ υνδερλψινγ
τηε εστιµατεδ ⇒ρινγ ρατε σατισφψ κσ = 2. (Α) Τηε χοµπλεξ χελλ ρεσπονσε εστιµατε,
Λ 2 1 + Λ2 2
, ασ α φυνχτιον οφ στιµυλυσ οριεντατιον φορ α γρατινγ ωιτη τηε πρεφερρεδ
σπατιαλ φρεθυενχψ Κ = κ. (Β)Λ 2 1 + Λ2 2
ασ α φυνχτιον οφ τηε ρατιο οφ τηε στιµυλυσ σπατιαλ
φρεθυενχψ το ιτσ πρεφερρεδ ϖαλυε, Κ/κ, φορ α γρατινγ οριεντεδ ιν τηε πρεφερρεδ διρεχ−
τιον = 0. (Χ) Λ 2 1 + Λ2 2
ασ α φυνχτιον οφ στιµυλυσ σπατιαλ πηασε φορ α γρατινγ ωιτη
τηε πρεφερρεδ σπατιαλ φρεθυενχψ ανδ οριεντατιον, Κ = κ ανδ = 0.
ωηερε Β(ω, Κ) ισ α τεµποραλ ανδ σπατιαλ φρεθυενχψ−δεπενδεντ αµπλιτυδε
φαχτορ. Ωε δο νοτ νεεδ τηε εξπλιχιτ φορµ οφ Β(ω, Κ) ηερε, βυτ τηε ρεαδερ ισ
υργεδ το δεριϖε ιτ. Φορ πρεφερρεδ σπατιαλ πηασε φ − π/2,
Λ 2 = ΑΒ(ω, Κ) σιν(φ − )χοσ(ωτ − δ) (2.40)
βεχαυσε χοσ(φ − π/2 − ) = σιν(φ − ). Ιφ ωε σθυαρε ανδ αδδ τηεσε τωο
τερµσ, ωε οβταιν α ρεσυλτ τηατ δοεσ νοτ δεπενδ ον ,
Λ 2 1 + Λ 2 2 = Α 2 Β 2 (ω, Κ) χοσ 2 (ωτ − δ), (2.41)
βεχαυσε χοσ 2 (φ−)+ σιν 2 (φ−) = 1. Τηυσ, ωε χαν δεσχριβε τηε σπατιαλ−
πηασε−ινϖαριαντ ρεσπονσε οφ α χοµπλεξ χελλ βψ ωριτινγ
r(τ) = r 0 + Γ ( Λ 2 1 + Λ 2 2) , (2.42)
φορ σοµε χονσταντ Γ. Τηε σελεχτιϖιτιεσ οφ συχη α ρεσπονσε εστιµατε το
γρατινγ οριεντατιον, σπατιαλ φρεθυενχψ, ανδ σπατιαλ πηασε αρε σηοων ιν ⇒γ−
υρε 2.23. Τηε ρεσπονσε οφ τηε µοδελ χοµπλεξ χελλ ισ τυνεδ το οριεντατιον
ανδ σπατιαλ φρεθυενχψ, βυτ τηε σπατιαλ πηασε δεπενδενχε, ιλλυστρατεδ φορ
α σιµπλε χελλ ιν ⇒γυρε 2.15Χ, ισ αβσεντ. Ιν χοµπυτινγ τηε χυρϖε φορ ⇒γ−
υρε 2.23Χ, ωε υσεδ τηε εξαχτ εξπρεσσιονσ φορ Λ 1 ανδ Λ 2 φροµ τηε ιντεγραλσ
ιν εθυατιονσ 2.31 ανδ 2.32, νοτ τηε αππροξιµατιον υσεδ ιν εθυατιον 2.34 το
σιµπλιφψ τηε πρεϖιουσ δισχυσσιον. Αλτηουγη ιτ ισ νοτ ϖισιβλε ιν τηε ⇒γυρε,
τηερε ισ α ωεακ δεπενδενχε ον ωηεν τηε εξαχτ εξπρεσσιονσ αρε υσεδ.
Τηε χοµπλεξ χελλ ρεσπονσε γιϖεν βψ εθυατιονσ 2.41 ανδ 2.42 ρεπροδυχεσ
τηε φρεθυενχψ−δουβλινγ εφφεχτ σεεν ιν χοµπλεξ χελλ ρεσπονσεσ βεχαυσε τηε
φαχτορ χοσ 2 (ωτ − δ) οσχιλλατεσ ωιτη φρεθυενχψ 2ω. Τηισ φολλοωσ φροµ τηε
ιδεντιτψ
χοσ 2 (ωτ − δ) = 1 2 χοσ(2(ωτ − δ)) + 1 2 . (2.43)