Theoretical Neuroscience

7.4 Ρεχυρρεντ Νετωορκσ 249
ωηερε η(θ) ισ τηε φεεδφορωαρδ ινπυτ το α νευρον ωιτη πρεφερρεδ στιµυλυσ
ανγλε θ, ανδ ωε ηαϖε ασσυµεδ α χονσταντ δενσιτψ ρ θ . Βεχαυσε θ ισ αν ανγλε,
η, Μ, ανδ v µυστ αλλ βε περιοδιχ φυνχτιονσ ωιτη περιοδ 2π. Βψ µακινγ Μ α
φυνχτιον οφ θ−θ ′ , ωε αρε ιµποσινγ α σψµµετρψ ωιτη ρεσπεχτ το τρανσλατιονσ
ορ σηιφτσ οφ τηε ανγλε ϖαριαβλεσ. Ιν αδδιτιον, ωε ασσυµε τηατ Μ ισ αν εϖεν
φυνχτιον, Μ(θ − θ ′ ) = Μ(θ ′ − θ). Τηισ ισ τηε αναλογ, ιν α χοντινυουσλψ
λαβελεδ µοδελ, οφ α σψµµετριχ σψναπτιχ ωειγητ µατριξ.
Εθυατιον 7.29 χαν βε σολϖεδ βψ µετηοδσ σιµιλαρ το τηοσε υσεδ φορ δισχρετε
νετωορκσ. Ωε ιντροδυχε ειγενφυνχτιονσ τηατ σατισφψ
∫ π
ρ θ δθ ′ Μ(θ − θ ′ )ε µ (θ ′ ) = λ µ ε µ (θ). (7.30)
−π
Ωε λεαϖε ιτ ασ αν εξερχισε το σηοω τηατ τηε ειγενφυνχτιονσ (νορµαλιζεδ σο
τηατ ρ θ τιµεσ τηε ιντεγραλ φροµ −π το π οφ τηειρ σθυαρε ισ 1) αρε 1/(2πρ θ ) 1/2 ,
χορρεσπονδινγ το µ = 0, ανδ χοσ(µθ)/(πρ θ ) 1/2 ανδ σιν(µθ)/(πρ θ ) 1/2 φορ
µ = 1, 2,.... Τηε ειγενϖαλυεσ αρε ιδεντιχαλ φορ τηε σινε ανδ χοσινε ειγεν−
φυνχτιονσ ανδ αρε γιϖεν (ινχλυδινγ τηε χασε µ = 0) βψ
∫ π
λ µ = ρ θ δθ ′ Μ(θ ′ ) χοσ(µθ ′ ). (7.31)
−π
Τηε στεαδψ−στατε ⇒ρινγ ρατεσ φορ α χονσταντ ινπυτ αρε γιϖεν βψ τηε χοντινυ−
ουσ αναλογ οφ εθυατιον 7.23,
v ∞ (θ) = 1
1 − λ 0
∫ π
+
+
∞∑
µ=1
∞∑
µ=1
−π
δθ ′
2π η(θ′ )
χοσ(µθ)
1 − λ µ
∫ π
−π
σιν(µθ)
1 − λ µ
∫ π
−π
δθ ′
π η(θ′ ) χοσ(µθ ′ )
δθ ′
π η(θ′ ) σιν(µθ ′ ). (7.32)
Τηε ιντεγραλσ ιν τηισ εξπρεσσιον αρε τηε χοεφ⇒χιεντσ ιν α Φουριερ σεριεσ φορ
τηε φυνχτιον η ανδ αρε κνοων ασ χοσινε ανδ σινε Φουριερ ιντεγραλσ (σεε τηε
Ματηεµατιχαλ Αππενδιξ).
Φουριερ σεριεσ
Φιγυρε 7.8 σηοωσ αν εξαµπλε οφ σελεχτιϖε αµπλι⇒χατιον βψ α λινεαρ ρεχυρ−
ρεντ νετωορκ. Τηε ινπυτ το τηε νετωορκ, σηοων ιν πανελ Α οφ ⇒γυρε 7.8, ισ
α χοσινε φυνχτιον τηατ πεακσ ατ 0 ◦ το ωηιχη ρανδοµ νοισε ηασ βεεν αδδεδ.
Φιγυρε 7.8Χ σηοωσ Φουριερ αµπλιτυδεσ φορ τηισ ινπυτ. Τηε Φουριερ αµπλι−
τυδε ισ τηε σθυαρε ροοτ οφ τηε συµ οφ τηε σθυαρεσ οφ τηε χοσινε ανδ σινε
Φουριερ ιντεγραλσ. Νο παρτιχυλαρ µ ϖαλυε ισ οϖερωηελµινγλψ δοµιναντ. Ιν
τηισ ανδ τηε φολλοωινγ εξαµπλεσ, τηε ρεχυρρεντ χοννεχτιονσ οφ τηε νετωορκ
αρε γιϖεν βψ
Μ(θ − θ ′ ) = λ 1
πρ θ
χοσ(θ − θ ′ ), (7.33)
ωηιχη ηασ αλλ ειγενϖαλυεσ εξχεπτ λ 1 εθυαλ το 0. Τηε νετωορκ µοδελ σηοων
ιν ⇒γυρε 7.8 ηασ λ 1 = 0.9, σο τηατ 1/(1 − λ 1 ) = 10. Ινπυτ αµπλι⇒χατιον χαν