Theoretical Neuroscience

28 Νευραλ Ενχοδινγ Ι: Φιρινγ Ρατεσ ανδ Σπικε Στατιστιχσ
σπικε−τραιν
αυτοχορρελατιον
φυνχτιον Θ ρρ
α τραιν. Τηισ ισ χαλλεδ τηε σπικε−τραιν αυτοχορρελατιον φυνχτιον, ανδ ιτ ισ
παρτιχυλαρλψ υσεφυλ φορ δετεχτινγ παττερνσ ιν σπικε τραινσ, µοστ νοταβλψ οσ−
χιλλατιονσ. Τηε σπικε−τραιν αυτοχορρελατιον φυνχτιον ισ τηε αυτοχορρελατιον
οφ τηε νευραλ ρεσπονσε φυνχτιον οφ εθυατιον 1.1 ωιτη ιτσ αϖεραγε οϖερ τιµε
ανδ τριαλσ συβτραχτεδ ουτ. Τηε τιµε αϖεραγε οφ τηε νευραλ ρεσπονσε φυνχ−
τιον, φροµ εθυατιον 1.4, ισ τηε σπικε−χουντ ρατε ρ, ανδ τηε τριαλ αϖεραγε οφ
τηισ θυαντιτψ ισ 〈ρ〉=〈ν〉/Τ. Τηυσ, τηε σπικε−τραιν αυτοχορρελατιον φυνχτιον
ισ
Θ ρρ (τ) = 1 Τ
∫ Τ
0
δτ 〈(ρ(τ) −〈ρ〉)(ρ(τ + τ)−〈ρ〉)〉 . (1.35)
Βεχαυσε τηε αϖεραγε ισ συβτραχτεδ φροµ τηε νευραλ ρεσπονσε φυνχτιον ιν τηισ
εξπρεσσιον, Θ ρρ σηουλδ ρεαλλψ βε χαλλεδ αν αυτοχοϖαριανχε, νοτ αν αυτοχορ−
ρελατιον, βυτ ιν πραχτιχε ιτ ισντ.
Τηε σπικε−τραιν αυτοχορρελατιον φυνχτιον ισ χονστρυχτεδ φροµ δατα ιν τηε
φορµ οφ α ηιστογραµ βψ διϖιδινγ τιµε ιντο βινσ. Τηε ϖαλυε οφ τηε ηιστογραµ
φορ α βιν λαβελεδ ωιτη α ποσιτιϖε ορ νεγατιϖε ιντεγερ µ ισ χοµπυτεδ βψ
δετερµινινγ τηε νυµβερ οφ τηε τιµεσ τηατ ανψ τωο σπικεσ ιν τηε τραιν αρε
σεπαρατεδ βψ α τιµε ιντερϖαλ λψινγ βετωεεν (µ − 1/2)τ ανδ (µ + 1/2)τ
ωιτη τ τηε βιν σιζε. Τηισ ινχλυδεσ αλλ παιρινγσ, εϖεν βετωεεν α σπικε ανδ
ιτσελφ. Ωε χαλλ τηισ νυµβερ Ν µ . Ιφ τηε ιντερϖαλσ βετωεεν τηε ν 2 σπικε παιρσ
ιν τηε τραιν ωερε υνιφορµλψ διστριβυτεδ οϖερ τηε ρανγε φροµ 0 το Τ, τηερε
ωουλδ βε ν 2 τ/Τ ιντερϖαλσ ιν εαχη βιν. Τηισ υνιφορµ τερµ ισ ρεµοϖεδ
φροµ τηε αυτοχορρελατιον ηιστογραµ βψ συβτραχτινγ ν 2 τ/Τ φροµ Ν µ φορ αλλ
µ. Τηε σπικε−τραιν αυτοχορρελατιον ηιστογραµ ισ τηεν δε⇒νεδ βψ διϖιδινγ
τηε ρεσυλτινγ νυµβερσ βψ Τ, σο τηε ϖαλυε οφ τηε ηιστογραµ ιν βιν µ ισ Η µ =
Ν µ /Τ − ν 2 τ/Τ 2 . Φορ σµαλλ βιν σιζεσ, τηε µ = 0 τερµ ιν τηε ηιστογραµ
χουντσ τηε αϖεραγε νυµβερ οφ σπικεσ, τηατ ισ Ν µ =〈ν〉 ανδ ιν τηε λιµιτ
τ → 0, Η 0 =〈ν〉/Τ ισ τηε αϖεραγε ⇒ρινγ ρατε 〈ρ〉. Βεχαυσε οτηερ βινσ ηαϖε
Η µ οφ ορδερ τ, τηε λαργε µ = 0 τερµ ισ οφτεν ρεµοϖεδ φροµ ηιστογραµ
πλοτσ. Τηε σπικε−τραιν αυτοχορρελατιον φυνχτιον ισ δε⇒νεδ ασ Η µ /τ ιν τηε
λιµιτ τ → 0, ανδ ιτ ηασ τηε υνιτσ οφ α ⇒ρινγ ρατε σθυαρεδ. Ιν τηισ λιµιτ, τηε
µ = 0 βιν βεχοµεσ α δ φυνχτιον, Η 0 /τ →〈ρ〉δ(τ).
Ασ ωε ηαϖε σεεν, τηε διστριβυτιον οφ ιντερσπικε ιντερϖαλσ φορ αδϕαχεντ σπικεσ
ιν α ηοµογενεουσ Ποισσον σπικε τραιν ισ εξπονεντιαλ (εθυατιον 1.31). Βψ
χοντραστ, τηε ιντερϖαλσ βετωεεν ανψ τωο σπικεσ (νοτ νεχεσσαριλψ αδϕαχεντ)
ιν συχη α τραιν αρε υνιφορµλψ διστριβυτεδ. Ασ α ρεσυλτ, τηε συβτραχτιον προ−
χεδυρε ουτλινεδ αβοϖε γιϖεσ Η µ =0 φορ αλλ βινσ εξχεπτ φορ τηε µ=0 βιν τηατ
χονταινσ τηε χοντριβυτιον οφ τηε ζερο ιντερϖαλσ βετωεεν σπικεσ ανδ τηεµ−
σελϖεσ. Τηε αυτοχορρελατιον φυνχτιον φορ α Ποισσον σπικε τραιν γενερατεδ ατ
α χονσταντ ρατε 〈ρ〉=r ισ τηυσ
Θ ρρ (τ) = rδ(τ). (1.36)
χροσσ−χορρελατιον
φυνχτιον
Α χροσσ−χορρελατιον φυνχτιον βετωεεν σπικε τραινσ φροµ τωο διφφερεντ νευ−
ρονσχανβεδε⇒νεδ βψ αναλογψ ωιτη τηε αυτοχορρελατιον φυνχτιον βψ δε−
τερµινινγ τηε διστριβυτιον οφ ιντερϖαλσ βετωεεν παιρσ οφ σπικεσ, ονε τακεν