Theoretical Neuroscience

6.4 Μυλτι−χοµπαρτµεντ Μοδελσ 219
Φιγυρε 6.15 Α σεθυενχε οφ αππροξιµατιονσ οφ τηε στρυχτυρε οφ α νευρον. Τηε νευρον
ισ ρεπρεσεντεδ βψ α ϖαριαβλε νυµβερ οφ δισχρετε χοµπαρτµεντσ, εαχη ρεπρεσεντινγ α
ρεγιον τηατ ισ δεσχριβεδ βψ α σινγλε µεµβρανε ποτεντιαλ. Τηε χοννεχτορσ βετωεεν
χοµπαρτµεντσ ρεπρεσεντ ρεσιστιϖε χουπλινγσ. Τηε σιµπλεστ δεσχριπτιον ισ τηε σινγλε−
χοµπαρτµεντ µοδελ φυρτηεστ το τηε ριγητ.
τηρεε συχη τερµσ, χορρεσπονδινγ το χουπλινγ οφ τηε βρανχηινγ νοδε το τηε
⇒ρστ χοµπαρτµεντ ιν εαχη οφ τηε δαυγητερ βρανχηεσ.
Τηε χονσταντ γ µ,µ ′ τηατ δετερµινεσ τηε ρεσιστιϖε χουπλινγ φροµ νειγηβορινγ
χοµπαρτµεντ µ ′ το χοµπαρτµεντ µ ισ δετερµινεδ βψ χοµπυτινγ τηε χυρ−
ρεντ τηατ ⇓οωσ φροµ ονε χοµπαρτµεντ το ιτσ νειγηβορ δυε το Οηµσ λαω.
Φορ σιµπλιχιτψ, ωε βεγιν βψ χοµπυτινγ τηε χουπλινγ βετωεεν τωο χοµ−
παρτµεντσ τηατ ηαϖε τηε σαµε λενγτη Λ ανδ ραδιυσ α. Υσινγ τηε ρεσυλτσ οφ
χηαπτερ 5, τηε ρεσιστανχε βετωεεν τωο συχη χοµπαρτµεντσ, µεασυρεδ φροµ
τηειρ χεντερσ, ισ τηε ιντραχελλυλαρ ρεσιστιϖιτψ, ρ Λ τιµεσ τηε διστανχε βετωεεν
τηε χοµπαρτµεντ χεντερσ διϖιδεδ βψ τηε χροσσ−σεχτιοναλ αρεα, ρ Λ Λ/(πα 2 ).
Τηε τοταλ χυρρεντ ⇓οωινγ φροµ χοµπαρτµεντ µ + 1 το χοµπαρτµεντ µ ισ
τηεν πα 2 (ς µ+1 − ς µ )/ρ Λ Λ. Εθυατιον 6.29 φορ τηε ποτεντιαλ ωιτηιν α χοµ−
παρτµεντ µ ρεφερσ το χυρρεντσ περ υνιτ αρεα οφ µεµβρανε. Τηυσ, ωε µυστ
διϖιδε τηε τοταλ χυρρεντ φροµ χοµπαρτµεντ µ ′ βψ τηε συρφαχε αρεα οφ χοµ−
παρτµεντ µ,2παΛ, ανδ ωε ⇒νδ τηατ γ µ,µ ′ = α/(2ρ Λ Λ 2 ).
Τηε ϖαλυε οφ γ µ,µ ′ ισ γιϖεν βψ α µορε χοµπλεξ εξπρεσσιον ιφ τηε τωο νειγη−
βορινγ χοµπαρτµεντσ ηαϖε διφφερεντ λενγτησ ορ ραδιι. Τηισ χαν οχχυρ ωηεν
α ταπερινγ χαβλε ισ αππροξιµατεδ βψ α σεθυενχε οφ χψλινδριχαλ χοµπαρτ−
µεντσ, ορ ατ α βρανχη ποιντ ωηερε α σινγλε χοµπαρτµεντ χοννεχτσ ωιτη τωο
οτηερ χοµπαρτµεντσ, ασ ιν ⇒γυρε 6.16. Ιν ειτηερ χασε, συπποσε τηατ χοµ−
παρτµεντ µ ηασ λενγτη Λ µ ανδ ραδιυσ α µ , ανδ χοµπαρτµεντ µ ′ ηασ λενγτη
Λ µ ′ ανδ ραδιυσ α µ ′. Τηε ρεσιστανχε βετωεεν τηεσε τωο χοµπαρτµεντσ ισ τηε
συµ οφ τηε τωο ρεσιστανχεσ φροµ τηε µιδδλε οφ εαχη χοµπαρτµεντ το τηε
ϕυνχτιον βετωεεν τηεµ, ρ Λ Λ µ /(2πα 2 µ) + ρ Λ Λ µ ′/(2πα 2 µ ′). Το χοµπυτε γ µ,µ ′
ωε ινϖερτ τηισ εξπρεσσιον ανδ διϖιδε τηε ρεσυλτ βψ τηε τοταλ συρφαχε αρεα οφ