Theoretical Neuroscience

3.3 Ποπυλατιον ∆εχοδινγ 101
λοχιτψ ανδ αχχελερατιον. Τηισ χοµπλιχατεσ τηε ιντερπρετατιον οφ τηειρ αχτιϖιτψ
ασ ρεπορτινγ µοϖεµεντ διρεχτιον ιν α παρτιχυλαρ χοορδινατε σψστεµ.
Υνλικε τηε χερχαλ ιντερνευρονσ, Μ1 νευρονσ δο νοτ ηαϖε ορτηογοναλ πρε−
φερρεδ διρεχτιονσ τηατ φορµ α Χαρτεσιαν χοορδινατε σψστεµ. Ινστεαδ, τηε
πρεφερρεδ διρεχτιονσ οφ τηε νευρονσ αππεαρ το ποιντ ιν αλλ διρεχτιονσ ωιτη
ρουγηλψ εθυαλ προβαβιλιτψ. Ιφ τηε προϕεχτιον αξεσ αρε νοτ ορτηογοναλ, τηε
Χαρτεσιαν συµ οφ εθυατιον 3.22 ισ νοτ τηε χορρεχτ ωαψ το ρεχονστρυχτ ⃗v. Νεϖ−
ερτηελεσσ, ιφ τηε πρεφερρεδ διρεχτιονσ ποιντ υνιφορµλψ ιν αλλ διρεχτιονσ ανδ
τηε νυµβερ οφ νευρονσ Ν ισ συφ⇒χιεντλψ λαργε, τηε ποπυλατιον ϖεχτορ
⃗v ποπ =
Ν∑
( ρ − ρ0
⃗χ α (3.24)
ρ µαξ
)α
α=1
ωιλλ, ον αϖεραγε, ποιντ ιν α διρεχτιον παραλλελ το τηε αρµ µοϖεµεντ διρεχ−
τιον ϖεχτορ ⃗v. Ιφ ωε αϖεραγε εθυατιον 3.24 οϖερ τριαλσ ανδ υσε εθυατιον 3.23,
ωε ⇒νδ
〈⃗v ποπ 〉=
Ν∑
(⃗v ·⃗χ α )⃗χ α . (3.25)
α=1
Ωε λεαϖε ασ αν εξερχισε τηε προοφ τηατ 〈⃗v ποπ 〉 ισ αππροξιµατελψ παραλλελ
το ⃗v ιφ α λαργε ενουγη νυµβερ οφ νευρονσ ισ ινχλυδεδ ιν τηε συµ, ανδ
ιφ τηειρ πρεφερρεδ−διρεχτιον ϖεχτορσ ποιντ ρανδοµλψ ιν αλλ διρεχτιονσ ωιτη
εθυαλ προβαβιλιτψ. Λατερ ιν τηισ χηαπτερ, ωε δισχυσσ ηοω χορρεχτιονσ χαν
βε µαδε ιφ τηε διστριβυτιον οφ πρεφερρεδ διρεχτιονσ ισ νοτ υνιφορµ ορ τηε
νυµβερ οφ νευρονσ ισ νοτ λαργε. Τηε ποπυλατιον ϖεχτορσ χονστρυχτεδ φροµ
εθυατιον 3.24 ον τηε βασισ οφ ρεσπονσεσ οφ νευρονσ ιν πριµαρψ µοτορ χορ−
τεξ, ρεχορδεδ ωηιλε α µονκεψ περφορµεδ α ρεαχηινγ τασκ, αρε χοµπαρεδ
ωιτη τηε αχτυαλ διρεχτιονσ οφ αρµ µοϖεµεντσ ιν ⇒γυρε 3.6.
Οπτιµαλ ∆εχοδινγ Μετηοδσ
Τηε ϖεχτορ µετηοδ ισ α σιµπλε δεχοδινγ µετηοδ τηατ χαν περφορµ θυιτε
ωελλ ιν χερταιν χασεσ, βυτ ιτ ισ νειτηερ α γενεραλ νορ αν οπτιµαλ ωαψ το ρε−
χονστρυχτ α στιµυλυσ φροµ τηε ⇒ρινγ ρατεσ οφ α ποπυλατιον οφ νευρονσ. Ιν
τηισ σεχτιον, ωε δισχυσσ τωο µετηοδσ τηατ χαν, βψ σοµε µεασυρε, βε χον−
σιδερεδ οπτιµαλ. Τηεσε αρε χαλλεδ Βαψεσιαν ινφερενχε ανδ µαξιµυµ α ποσ−
τεριορι (ΜΑΠ) ινφερενχε. Ωε αλσο δισχυσσ α σπεχιαλ χασε οφ ΜΑΠ χαλλεδ µαξ−
ιµυµ λικελιηοοδ (ΜΛ) ινφερενχε. Τηε Βαψεσιαν αππροαχη ινϖολϖεσ ⇒νδινγ
τηε µινιµυµ οφ α λοσσ φυνχτιον τηατ εξπρεσσεσ τηε χοστ οφ εστιµατιον ερ−
ρορσ. ΜΑΠ ινφερενχε ανδ ΜΛ ινφερενχε γενεραλλψ προδυχε εστιµατεσ τηατ
αρε ασ αχχυρατε, ιν τερµσ οφ τηε ϖαριανχε οφ τηε εστιµατε, ασ ανψ τηατ χαν
βε αχηιεϖεδ βψ α ωιδε χλασσ οφ εστιµατιον µετηοδσ (σο−χαλλεδ υνβιασεδ
εστιµατεσ), ατ λεαστ ωηεν λαργε νυµβερσ οφ νευρονσ αρε υσεδ ιν τηε δεχοδ−
ινγ. Βαψεσιαν ανδ ΜΑΠ εστιµατεσ υσε τηε χονδιτιοναλ προβαβιλιτψ τηατ α
στιµυλυσ παραµετερ τακεσ α ϖαλυε βετωεεν σ ανδ σ+σ, γιϖεν τηατ τηε σετ
οφ Ν ενχοδινγ νευρονσ ⇒ρεδ ατ ρατεσ γιϖεν βψ ρ. Τηε προβαβιλιτψ δενσιτψ