Theoretical Neuroscience

3.3 Ποπυλατιον ∆εχοδινγ 111
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Ι Φ / (ρ µαξ Τ )
φ/ρ µαξ
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
σ
Φιγυρε 3.11 Τηε Φισηερ ινφορµατιον φορ α σινγλε νευρον ωιτη α Γαυσσιαν τυνινγ
χυρϖε ωιτη σ=0 ανδ σ α = 1, ανδ Ποισσον ϖαριαβιλιτψ. Τηε Φισηερ ινφορµατιον (σολιδ
χυρϖε) ηασ βεεν διϖιδεδ βψ ρ µαξ Τ, τηε πεακ ⇒ρινγ ρατε οφ τηε τυνινγ χυρϖε τιµεσ
τηε δυρατιον οφ τηε τριαλ. Τηε δασηεδ χυρϖε σηοωσ τηε τυνινγ χυρϖε σχαλεδ βψ ρ µαξ .
Νοτε τηατ τηε Φισηερ ινφορµατιον ισ γρεατεστ ωηερε τηε σλοπε οφ τηε τυνινγ χυρϖε ισ
ηιγηεστ, ανδ ϖανισηεσ ατ σ=0, ωηερε τηε τυνινγ χυρϖε πεακσ.
ρονσ ωιτη τυνινγ χυρϖεσ οφ ιδεντιχαλ σηαπεσ, διστριβυτεδ εϖενλψ οϖερ α
ρανγε οφ στιµυλυσ ϖαλυεσ ασ ιν ⇒γυρε 3.8. Εθυατιον 3.45 ινδιχατεσ τηατ τηε
Φισηερ ινφορµατιον ωιλλ βε λαργεστ ιφ τηε τυνινγ χυρϖεσ οφ ινδιϖιδυαλ νευ−
ρονσ αρε ραπιδλψ ϖαρψινγ (µακινγ τηε σθυαρε οφ τηειρ δεριϖατιϖεσ λαργε), ανδ
ιφ µανψ νευρονσ ρεσπονδ (µακινγ τηε συµ οϖερ νευρονσ λαργε). Φορ τψπι−
χαλ νευροναλ ρεσπονσε τυνινγ χυρϖεσ, τηεσε τωο ρεθυιρεµεντσ αρε ιν χον⇓ιχτ
ωιτη ονε ανοτηερ. Ιφ τηε ποπυλατιον οφ νευρονσ ηασ ναρροω τυνινγ χυρϖεσ,
ινδιϖιδυαλ νευραλ ρεσπονσεσ αρε ραπιδλψ ϖαρψινγ φυνχτιονσ οφ τηε στιµυλυσ,
βυτ φεω νευρονσ ρεσπονδ. Βροαδ τυνινγ χυρϖεσ αλλοω µανψ νευρονσ το
ρεσπονδ, βυτ τηε ινδιϖιδυαλ ρεσπονσεσ αρε νοτ ασ σενσιτιϖε το τηε στιµυλυσ
ϖαλυε. Το δετερµινε ωηετηερ ναρροω ορ βροαδ τυνινγ χυρϖεσ προδυχε τηε
µορε αχχυρατε ενχοδινγσ, ωε χονσιδερ α δενσε διστριβυτιον οφ Γαυσσιαν
τυνινγ χυρϖεσ, αλλ ωιτη σ α = σ ρ . Υσινγ συχη χυρϖεσ ιν εθυατιον 3.45, ωε
⇒νδ
(
Ν∑ ρ µαξ (σ − σ α )
Ι Φ (σ) = 2
Τ
εξπ − 1 ( ) )
σ −
2
σα
. (3.46)
2 σ ρ
α=1
σ 4 ρ
Τηισ εξπρεσσιον χαν βε αππροξιµατεδ βψ ρεπλαχινγ τηε συµ οϖερ νευρονσ
ωιτη αν ιντεγραλ οϖερ τηειρ πρεφερρεδ στιµυλυσ ϖαλυεσ ανδ µυλτιπλψινγ βψ α
δενσιτψ φαχτορ ρ σ . Τηε φαχτορ ρ σ ισ τηε δενσιτψ ωιτη ωηιχη τηε νευρονσ χοϖερ
τηε ρανγε οφ στιµυλυσ ϖαλυεσ, ανδ ιτ ισ εθυαλ το τηε νυµβερ οφ νευρονσ ωιτη
πρεφερρεδ στιµυλυσ ϖαλυεσ λψινγ ωιτηιν α υνιτ ρανγε οφ σ ϖαλυεσ. Ρεπλαχινγ
τηε συµ οϖερ α ωιτη αν ιντεγραλ οϖερ α χοντινυουσ πρεφερρεδ στιµυλυσ πα−
ραµετερ ξ (ωηιχη ρεπλαχεσ σ α ), ωε ⇒νδ
∫ (
∞
Ι Φ (σ) ≈ ρ σ Τ δξ ρ µαξ(σ − ξ) 2
−∞ σρ
4 εξπ − 1 ( ) )
σ − ξ
2
2 σ ρ
√
2πρσ σ ρ ρ µαξ Τ
= . (3.47)
σ 2 ρ
Ωε ηαϖε εξπρεσσεδ τηε ⇒ναλ ρεσυλτ ιν τηισ φορµ βεχαυσε τηε νυµβερ οφ νευ−
ρονσ τηατ ρεσπονδ το α γιϖεν στιµυλυσ ϖαλυε ισ ρουγηλψ ρ σ σ ρ , ανδ τηε Φισηερ
συµσ→ιντεγραλσ