Theoretical Neuroscience

Α.1 Λινεαρ Αλγεβρα 401
ωηιχη ηασ χοµπονεντσ Ω αβ = η α δ αβ φορσοµεσετοφη α , α = 1, 2,...,Ν.
ΤηετρανσποσεοφανΝ ρ βψ Ν χ µατριξ Ω ισ αν Ν χ βψ Ν ρ µατριξ Ω Τ ωιτη
ελεµεντσ [Ω Τ ] αβ = Ω βα . Τηε τρανσποσε οφ α χολυµν ϖεχτορ ισ α ροω ϖεχ−
τορ, ϖ Τ = (v 1 v 2 ...v Ν ). Τηισ ισ διστινγυισηεδ βψ τηε αβσενχε οφ χοµµασ
φροµ (v 1 ,v 2 ,...,v Ν ) ωηιχη, φορ υσ, ισ α λιστινγ οφ τηε χοµπονεντσ οφ α χολ−
υµν ϖεχτορ. Ιν τηε φολλοωινγ ταβλε, ωε δε⇒νε α νυµβερ οφ οπερατιονσ ιν−
ϖολϖινγ ϖεχτορσ ανδ µατριχεσ. Ιν τηε δε⇒νιτιονσ, ωε προϖιδε ουρ νοτατιον
ανδ τηε χορρεσπονδινγ εξπρεσσιονσ ιν τερµσ οφ ϖεχτορ χοµπονεντσ ανδ µα−
τριξ ελεµεντσ. Ωε αλσο προϖιδε τηε χονϖεντιοναλ µατριξ νοτατιον φορ τηεσε
θυαντιτιεσ ασ ωελλ ασ τηε νοτατιον υσεδ βψ ΜΑΤΛΑΒ → , α χοµπυτερ σοφτωαρε
παχκαγε χοµµονλψ υσεδ το περφορµ τηεσε οπερατιονσ νυµεριχαλλψ. Φορ τηε
ΜΑΤΛΑΒ → νοτατιον (ωηιχη δοεσ νοτ υσε βολδ ορ ιταλιχ σψµβολσ), ωε δε−
νοτε τωο χολυµν ϖεχτορσ βψ υ ανδ ϖ, ασσυµινγ τηεψ αρε δε⇒νεδ ωιτηιν
ΜΑΤΛΑΒ → βψ ινστρυχτιονσ συχη ασ ϖ =[ϖ(1) ϖ(2) ... ϖ(Ν)].
τρανσποσε
Θυαντιτψ ∆ε⇒νιτιον Ματριξ ΜΑΤΛΑΒ →
νορµ |ϖ| 2 = ϖ · ϖ = ∑ α v2 α ϖ Τ ϖ ϖ∗ϖ
δοτ προδυχτ ϖ · υ = ∑ α v αυ α ϖ Τ υ ϖ∗υ
ουτερ προδυχτ [ϖυ] αβ = v α υ β ϖυ Τ ϖ∗υ
µατριξ−ϖεχτορ προδυχτ [Ω · ϖ] α = ∑ β Ω αβv β Ωϖ Ω∗ϖ
ϖεχτορ−µατριξ προδυχτ [ϖ · Ω] α = ∑ β v βΩ βα ϖ Τ Ω ϖ∗Ω
θυαδρατιχ φορµ ϖ · Ω · υ = ∑ αβ v αΩ αβ υ β ϖ Τ Ωυ ϖ∗Ω∗υ
µατριξ−µατριξ προδυχτ [Ω · Μ] αβ = ∑ χ Ω αχΜ χβ ΩΜ Ω∗Μ
τρανσποσε [Ω Τ ] αβ = Ω βα Ω Τ Ω
Σεϖεραλ ιµπορταντ δε⇒νιτιονσ φορ σθυαρε µατριχεσ αρε γιϖεν βελοω.
Οπερατιον Νοτατιον ∆ε⇒νιτιον ΜΑΤΛΑΒ →
ινϖερσε Ω −1 Ω · Ω −1 = Ι inv(Ω)
τραχε
τρΩ
∑
α Ω αα trace(Ω)
δετερµιναντ δετ Ω σεε ρεφερενχεσ det(Ω)
Α σθυαρε µατριξ ηασ αν ινϖερσε ονλψ ιφ ιτσ δετερµιναντ ισ νονζερο. Σθυαρε
µατριχεσ ωιτη χερταιν προπερτιεσ αρε γιϖεν σπεχιαλ ναµεσ (ταβλε βελοω).
Προπερτψ
∆ε⇒νιτιον
σψµµετριχ Ω Τ = Ω ορ Ω βα = Ω αβ
ορτηογοναλ Ω Τ = Ω −1 ορ Ω Τ · Ω = Ι
ποσιτιϖε−δε⇒νιτε ϖ · Ω · ϖ > 0 φορ αλλ ϖ ≠ 0
Τ♦οπλιτζ Ω αβ = φ(α − β)