Theoretical Neuroscience

104 Νευραλ ∆εχοδινγ
Τηε Βαψεσιαν ρεσυλτ ηασ α σλιγητλψ σµαλλερ αϖεραγε ερρορ αχροσσ αλλ ανγλεσ.
Τηε διπσ ιν τηε ερρορ χυρϖεσ ιν ⇒γυρε 3.7, ασ ιν τηε χυρϖε οφ ⇒γυρε 3.5Β,
αππεαρ ατ ανγλεσ ωηερε ονε τυνινγ χυρϖε πεακσ ανδ τωο οτηερσ ρισε φροµ
τηρεσηολδ (σεε ⇒γυρε 3.4). Ασ ιν ⇒γυρε 3.5Β, τηεσε διπσ αρε δυε το τηε τωο
νευρονσ ρεσπονδινγ νεαρ τηρεσηολδ, νοτ το τηε µαξιµαλλψ ρεσπονδινγ νευ−
ρον. Τηεψ οχχυρ βεχαυσε νευρονσ αρε µοστ σενσιτιϖε ατ ποιντσ ωηερε τηειρ
τυνινγ χυρϖεσ ηαϖε µαξιµυµ σλοπεσ, ωηιχη ιν τηισ χασε ισ νεαρ τηρεσηολδ
(σεε ⇒γυρε 3.11).
Χοµπαρινγ τηεσε ρεσυλτσ ωιτη ⇒γυρε 3.5Β σηοωσ τηε ιµπροϖεδ περφορ−
µανχε οφ τηεσε µετηοδσ ρελατιϖε το τηε ϖεχτορ µετηοδ. Τηε ϖεχτορ µετηοδ
περφορµσ εξτρεµελψ ωελλ φορ τηισ σψστεµ, σο τηε δεγρεε οφ ιµπροϖεµεντ ισ
νοτ λαργε. Τηισ ισ βεχαυσε τηε χερχαλ ρεσπονσεσ αρε ωελλ δεσχριβεδ βψ χο−
σινε φυνχτιονσ ανδ τηειρ πρεφερρεδ διρεχτιονσ αρε 90 ◦ απαρτ. Μυχη µορε
δραµατιχ διφφερενχεσ οχχυρ ωηεν τηε τυνινγ χυρϖεσ αρε νοτ χοσινεσ ορ τηε
πρεφερρεδ στιµυλυσ διρεχτιονσ αρε νοτ περπενδιχυλαρ.
Υπ το νοω, ωε ηαϖε χονσιδερεδ τηε δεχοδινγ οφ α διρεχτιον ανγλε. Ωε νοω
τυρν το τηε µορε γενεραλ χασε οφ δεχοδινγ αν αρβιτραρψ χοντινυουσ στιµυλυσ
παραµετερ. Αν ινστρυχτιϖε εξαµπλε ισ προϖιδεδ βψ αν αρραψ οφ Ν νευρονσ
ωιτη πρεφερρεδ στιµυλυσ ϖαλυεσ διστριβυτεδ υνιφορµλψ αχροσσ τηε φυλλ ρανγε
οφ ποσσιβλε στιµυλυσ ϖαλυεσ. Αν εξαµπλε οφ συχη αν αρραψ φορ Γαυσσιαν
τυνινγ χυρϖεσ,
(
φ α (σ) = ρ µαξ εξπ − 1 ( ) )
σ −
2
σα
, (3.28)
2 σ α
ισ σηοων ιν ⇒γυρε 3.8. Ιν τηισ εξαµπλε, εαχη νευρον ηασ α τυνινγ χυρϖε
ωιτη α διφφερεντ πρεφερρεδ ϖαλυε σ α ανδ ποτεντιαλλψ α διφφερεντ ωιδτη σ α (αλ−
τηουγη αλλ τηε χυρϖεσ ιν ⇒γυρε 3.8 ηαϖε τηε σαµε ωιδτη). Ιφ τηε τυνινγ
χυρϖεσ αρε εϖενλψ ανδ δενσελψ διστριβυτεδ αχροσσ τηε ρανγε οφ σ ϖαλυεσ, τηε
συµ οφ αλλ τυνινγ χυρϖεσ ∑ φ α (σ) ισ αππροξιµατελψ ινδεπενδεντ οφ σ. Τηε
ρουγηλψ ⇓ατ λινε ιν ⇒γυρε 3.8 ισ προπορτιοναλ το τηισ συµ. Τηε χονστανχψ οφ
τηε συµ οϖερ τυνινγ χυρϖεσ ωιλλ βε υσεφυλ ιν τηε φολλοωινγ αναλψσισ.
Τυνινγ χυρϖεσ γιϖε τηε µεαν ⇒ρινγ ρατεσ οφ τηε νευρονσ αχροσσ µυλτιπλε
τριαλσ. Ιν ανψ σινγλε τριαλ, µεασυρεδ ⇒ρινγ ρατεσ ωιλλ ϖαρψ φροµ τηειρ µεαν
ϖαλυεσ. Το ιµπλεµεντ τηε Βαψεσιαν, ΜΑΠ, ορ ΜΛ αππροαχη, ωε νεεδ το
κνοω τηε χονδιτιοναλ ⇒ρινγ−ρατε προβαβιλιτψ δενσιτψ π[ρ|σ] τηατ δεσχριβεσ
τηισ ϖαριαβιλιτψ. Ωε ασσυµε τηατ τηε ⇒ρινγ ρατε ρ α οφ νευρον α ισ δετερµινεδ
βψ χουντινγ ν α σπικεσ οϖερ α τριαλ οφ δυρατιον Τ (σο τηατ ρ α = ν α /Τ), ανδ
τηατ τηε ϖαριαβιλιτψ χαν βε δεσχριβεδ βψ τηε ηοµογενεουσ Ποισσον µοδελ
δισχυσσεδ ιν χηαπτερ 1. Ιν τηισ χασε, τηε προβαβιλιτψ οφ στιµυλυσ σ εϖοκινγ
ν α = ρ α Τ σπικεσ, ωηεν τηε αϖεραγε ⇒ρινγ ρατε ισ 〈ρ α 〉= φ α (σ), ισ γιϖεν βψ (σεε
χηαπτερ 1)
Π[ρ α |σ] = ( φ α(σ)Τ) ρ αΤ
(ρ α Τ)!
εξπ(− φ α (σ)Τ). (3.29)
Ιφ ωε ασσυµε τηατ εαχη νευρον ⇒ρεσ ινδεπενδεντλψ, τηε ⇒ρινγ−ρατε προβα−