Theoretical Neuroscience
Theoretical Neuroscience
Theoretical Neuroscience
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
138 Ινφορµατιον Τηεορψ<br />
É<br />
Θ σσ , ωηιχη ισ ρεαλ ανδ νοννεγατιϖε, ισ αλσο χαλλεδ τηε στιµυλυσ ποωερ σπεχ−<br />
τρυµ (σεε χηαπτερ 1). Ιν τερµσ οφ τηεσε Φουριερ τρανσφορµσ, εθυατιον 4.37<br />
βεχοµεσ<br />
φροµ ωηιχη ωε ⇒νδ<br />
É<br />
|∆ σ<br />
(⃗κ)| 2 É<br />
Θ σσ (⃗κ)<br />
= σ 2 Λ , (4.41)<br />
ωηιτενινγ ⇒λτερ<br />
É<br />
|∆ σ (⃗κ)|=<br />
σ Λ<br />
√<br />
Θσσ<br />
É<br />
(⃗κ) . (4.42)<br />
Τηε λινεαρ κερνελ δεσχριβεδ βψ εθυατιον 4.42 εξαχτλψ χοµπενσατεσ φορ<br />
ωηατεϖερ δεπενδενχε τηε Φουριερ τρανσφορµ οφ τηε στιµυλυσ χορρελατιον<br />
É<br />
φυνχτιον ηασ ον τηε σπατιαλ φρεθυενχψ ⃗κ, µακινγ τηε προδυχτ Θ σσ<br />
É<br />
(⃗κ)|∆ σ (⃗κ)| 2<br />
ινδεπενδεντ οφ ⃗κ. Τηισ προδυχτ ισ τηε ποωερ σπεχτρυµ οφ Λ. Τηε ουτπυτ οφ<br />
τηε οπτιµαλ ⇒λτερ ηασ α ποωερ σπεχτρυµ τηατ ισ ινδεπενδεντ οφ σπατιαλ φρε−<br />
θυενχψ, ανδ τηερεφορε ηασ τηε σαµε χηαραχτεριστιχσ ασ ωηιτε νοισε. Τηερε−<br />
φορε, τηε κερνελ ιν εθυατιον 4.42 ισ χαλλεδ α ωηιτενινγ ⇒λτερ. ∆ιφφερεντ σπα−<br />
τιαλ φρεθυενχιεσ αχτ ινδεπενδεντλψ ιν α λινεαρ σψστεµ, σο δεχορρελατιον ανδ<br />
ϖαριανχε εθυαλιζατιον ρεθυιρε τηεµ το βε υτιλιζεδ ατ εθυαλ σιγναλ στρενγτη.<br />
(⃗κ)|,<br />
É<br />
Τηε χαλχυλατιον ωε ηαϖε περφορµεδ δετερµινεσ ονλψ τηε αµπλιτυδε |∆ σ<br />
ιτσελφ. Τηυσ, δεχορρελατιον ανδ ϖαριανχε εθυαλιζατιον δο<br />
É<br />
ανδ νοτ ∆ σ (⃗κ)<br />
νοτ υνιθυελψ σπεχιφψ τηε φορµ οφ τηε λινεαρ κερνελ. Ωε στυδψ σοµε χονσε−<br />
θυενχεσ οφ τηε φρεεδοµ το χηοοσε διφφερεντ λινεαρ κερνελσ σατισφψινγ εθυα−<br />
τιον 4.42 λατερ ιν τηε χηαπτερ.<br />
οπτιχαλ µοδυλατιον<br />
τρανσφερ φυνχτιον<br />
Τηε σπατιαλ χορρελατιον φυνχτιον φορ νατυραλ σχενεσ ηασ βεεν µεασυρεδ,<br />
É<br />
ωιτη τηε ρεσυλτ τηατ Θ σσ (⃗κ) ισ προπορτιοναλ το 1/|⃗κ| 2 οϖερ τηε ρανγε ιτ ηασ<br />
βεεν εϖαλυατεδ. Τηε βεηαϖιορ νεαρ ⃗κ = 0 ισ νοτ ωελλ εσταβλισηεδ, βυτ τηε<br />
διϖεργενχε οφ 1/|⃗κ| 2 É<br />
νεαρ ⃗κ = 0 χαν βε ρεµοϖεδ βψ σεττινγ Θ σσ (⃗κ) προπορ−<br />
τιοναλ το 1/(|⃗κ| 2 + κ 2 0 ) ωηερε κ 0 ισ α χονσταντ. Τηε στιµυλι οφ ιντερεστ ιν τηε<br />
χαλχυλατιον οφ ρετιναλ γανγλιον ρεχεπτιϖε ⇒ελδσ αρε νατυραλ ιµαγεσ ασ τηεψ<br />
αππεαρ ον τηε ρετινα, νοτ ιν τηε πηοτογραπησ φροµ ωηιχη τηε νατυραλ σχενεσ<br />
É<br />
στατιστιχσ αρε µεασυρεδ. Αν αδδιτιοναλ φαχτορ µυστ βε ινχλυδεδ ιν Θ σσ (⃗κ) το<br />
αχχουντ φορ ⇒λτερινγ ιντροδυχεδ βψ τηε οπτιχσ οφ τηε εψε (τηε οπτιχαλ µοδυ−<br />
λατιον τρανσφερ φυνχτιον). Α σιµπλε µοδελ οφ τηε οπτιχαλ µοδυλατιον τρανσ−<br />
φερ φυνχτιον ρεσυλτσ ιν αν εξπονεντιαλ χορρεχτιον το τηε στιµυλυσ χορρελατιον<br />
φυνχτιον,<br />
É<br />
Θ σσ (⃗κ) ∝ εξπ(−α|⃗κ|) ,<br />
|⃗κ| 2 + κ 2 (4.43)<br />
0<br />
ωιτη α α παραµετερ. Συβστιτυτινγ τηισ ιντο εθυατιον 4.42 γιϖεσ τηε ρατηερ<br />
É<br />
πεχυλιαρ ρεσυλτ τηατ τηε αµπλιτυδε |∆ σ (⃗κ)|, βεινγ προπορτιοναλ το τηε ιν−<br />
, ισ πρεδιχτεδ το γροω εξπονεντιαλλψ φορ λαργε<br />
É<br />
ϖερσε οφ τηε σθυαρε ροοτ οφ Θ σσ<br />
|⃗κ|. Ωηιτενινγ ⇒λτερσ µαξιµιζε εντροπψ βψ εθυαλιζινγ τηε διστριβυτιον οφ<br />
ρεσπονσε ποωερ οϖερ τηε εντιρε σπατιαλ φρεθυενχψ ρανγε. Ηιγη σπατιαλ φρε−<br />
θυενχψ χοµπονεντσ οφ ιµαγεσ αρε ρελατιϖελψ ραρε ιν νατυραλ σχενεσ ανδ,<br />
εϖεν ιφ τηεψ οχχυρ, αρε γρεατλψ αττενυατεδ βψ τηε εψε. Τηε ωηιτενινγ ⇒λτερ<br />
χοµπενσατεσ φορ τηισ βψ βοοστινγ τηε ρεσπονσεσ το ηιγη σπατιαλ φρεθυενχιεσ.<br />
Αλτηουγη τηισ ισ τηε ρεσυλτ οφ τηε εντροπψ µαξιµιζατιον χαλχυλατιον, ιτ ισ νοτ
Change language