Theoretical Neuroscience

5.7 Μοδελινγ Χηαννελσ 175
Τηε Ηοδγκιν−Ηυξλεψ µοδελ χαν αλσο βε υσεδ το στυδψ προπαγατιον οφ αν
αχτιον ποτεντιαλ δοων αν αξον, βυτ φορ τηισ πυρποσε α µυλτι−χοµπαρτµεντ
µοδελ µυστ βε χονστρυχτεδ. Μετηοδσ φορ βυιλδινγ συχη α µοδελ, ανδ ρε−
συλτσ φροµ ιτ, αρε δεσχριβεδ ιν χηαπτερ 6.
5.7 Μοδελινγ Χηαννελσ
Ιν πρεϖιουσ σεχτιονσ, ωε δεσχριβεδ τηε Ηοδγκιν−Ηυξλεψ φορµαλισµ φορ
δεσχριβινγ ϖολταγε−δεπενδεντ χονδυχτανχεσ αρισινγ φροµ α λαργε νυµβερ
οφ χηαννελσ. Ωιτη τηε αδϖεντ οφ σινγλε−χηαννελ στυδιεσ, µιχροσχοπιχ δε−
σχριπτιονσ οφ τηε τρανσιτιονσ βετωεεν τηε χονφορµατιοναλ στατεσ οφ χηαννελ
µολεχυλεσ ηαϖε βεεν δεϖελοπεδ. Βεχαυσε τηεσε µοδελσ δεσχριβε χοµπλεξ
µολεχυλεσ, τηεψ τψπιχαλλψ ινϖολϖε µανψ στατεσ ανδ τρανσιτιονσ. Ηερε, ωε
δισχυσσ σιµπλε ϖερσιονσ οφ τηεσε µοδελσ τηατ χαπτυρε τηε σπιριτ οφ σινγλε−
χηαννελ µοδελινγ ωιτηουτ γεττινγ µιρεδ ιν τηε δεταιλσ.
Μοδελσ οφ σινγλε χηαννελσ αρε βασεδ ον στατε διαγραµσ τηατ ινδιχατε τηε
ποσσιβλε χονφορµατιοναλ στατεσ τηατ τηε χηαννελ χαν ασσυµε. Τψπιχαλλψ, ονε
οφ τηε στατεσ ιν τηε διαγραµ ισ δεσιγνατεδ ασ οπεν ανδ ιον−χονδυχτινγ,
ωηιλε τηε οτηερ στατεσ αρε νονχονδυχτινγ. Τηε χυρρεντ χονδυχτεδ βψ τηε
χηαννελ ισ ωριττεν ασ γΠ(ς − Ε), ωηερε Ε ισ τηε ρεϖερσαλ ποτεντιαλ, γ ισ τηε
σινγλε−χηαννελ οπεν χονδυχτανχε, ανδ Π ισ 1 ωηενεϖερ τηε οπεν στατε ισ
οχχυπιεδ, ανδ 0 οτηερωισε. Χηαννελ µοδελσ χαν βε ινσταντιατεδ διρεχτλψ
φροµ στατε διαγραµσ σιµπλψ βψ κεεπινγ τραχκ οφ τηε στατε οφ τηε χηαννελ
ανδ αλλοωινγ στοχηαστιχ χηανγεσ οφ στατε το οχχυρ ατ αππροπριατε τρανσιτιον
ρατεσ. Ιφ τηε µοδελ ισ υπδατεδ ιν σηορτ τιµε στεπσ οφ δυρατιον τ, τηε προβ−
αβιλιτψ τηατ τηε χηαννελ µακεσ α γιϖεν τρανσιτιον δυρινγ αν υπδατε ιντερϖαλ
ισ τηε τρανσιτιον ρατε τιµεσ τ.
Φιγυρε 5.12 σηοωσ τηε στατε διαγραµ ανδ σιµυλατιον ρεσυλτσ φορ α µοδελ οφ
α σινγλε δελαψεδ−ρεχτι⇒ερ Κ + χηαννελ τηατ ισ χλοσελψ ρελατεδ το τηε Ηοδγκιν−
Ηυξλεψ δεσχριπτιον οφ τηε µαχροσχοπιχ δελαψεδ−ρεχτι⇒ερ χονδυχτανχε. Τηε
φαχτορσ α ν ανδ β ν ιν τηε τρανσιτιον ρατεσ σηοων ιν τηε στατε διαγραµ οφ ⇒γ−
υρε 5.12 αρε τηε ϖολταγε−δεπενδεντ ρατε φυνχτιονσ οφ τηε Ηοδγκιν−Ηυξλεψ
µοδελ. Τηε µοδελ υσεσ τηε σαµε φουρ συβυνιτ στρυχτυρε ασσυµεδ ιν τηε
Ηοδγκιν−Ηυξλεψ µοδελ. Ωε χαν τηινκ οφ στατε 1 ιν τηισ διαγραµ ασ α στατε
ιν ωηιχη αλλ τηε συβυνιτ γατεσ αρε χλοσεδ. Στατεσ 2, 3, 4, ανδ 5 ηαϖε 1, 2, 3,
ανδ 4 οπεν συβυνιτ γατεσ, ρεσπεχτιϖελψ. Στατε 5 ισ τηε σολε οπεν στατε. Τηε
φαχτορσ οφ 1, 2, 3, ανδ 4 ιν τηε τρανσιτιον ρατεσ ιν ⇒γυρε 5.12 χορρεσπονδ το
τηε νυµβερ οφ συβυνιτ γατεσ τηατ χαν µακε α γιϖεν τρανσιτιον. Φορ εξαµ−
πλε, τηε τρανσιτιον ρατε φροµ στατε 1 το στατε 2 ισ φουρ τιµεσ φαστερ τηαν τηε
ρατε φροµ στατε 4 το στατε 5. Τηισ ισ βεχαυσε ανψ ονε οφ τηε φουρ συβυνιτ
γατεσ χαν οπεν το γετ φροµ στατε 1 το στατε 2, βυτ τηε τρανσιτιον φροµ στατε 4
το στατε 5 ρεθυιρεσ τηε σινγλε ρεµαινινγ χλοσεδ συβυνιτ γατε το οπεν.
Τηε λοωερ πανελσ ιν ⇒γυρε 5.12 σηοω σιµυλατιονσ οφ τηισ µοδελ ινϖολϖινγ
1, 10, ανδ 100 χηαννελσ. Τηε συµ οφ χυρρεντσ φροµ αλλ οφ τηεσε χηαννελσ
ισ χοµπαρεδ ωιτη τηε χυρρεντ πρεδιχτεδ βψ τηε Ηοδγκιν−Ηυξλεψ µοδελ