Theoretical Neuroscience

82 Ρεϖερσε Χορρελατιον ανδ ςισυαλ Ρεχεπτιϖε Φιελδσ
Ρεαρρανγινγ ανδ σιµπλιφψινγ τηισ εξπρεσσιον γιϖεσ τηε χονδιτιον
( )
∞∑
Τ/τ τ ∑
τ ∆ κ σ ι−κ σ ι−ϕ = τ Τ/τ ∑
(r ι − r 0 ) σ ι−ϕ . (2.51)
Τ
Τ
κ=0
ι=0
Ιφ ωε τακε τηε λιµιτ τ → 0 ανδ µακε τηε ρεπλαχεµεντσ ιτ → τ, ϕτ →
τ, ανδ κτ → τ ′ , τηε συµσ ιν εθυατιον 2.51 τυρν βαχκ ιντο ιντεγραλσ, τηε
ινδεξεδ ϖαριαβλεσ βεχοµε φυνχτιονσ, ανδ ωε ⇒νδ
∫ ∞
( ∫ 1 Τ
)
δτ ′ ∆(τ ′ ) δτ σ(τ − τ ′ )σ(τ − τ) = 1 ∫ Τ
δτ (r(τ) − r 0 ) σ(τ − τ).
0
Τ 0
Τ 0
(2.52)
Τηε τερµ προπορτιοναλ το r 0 ον τηε ριγητ σιδε οφ τηισ εθυατιον χαν βε
δροππεδ βεχαυσε τηε τιµε ιντεγραλ οφ σ ισ 0. Τηε ρεµαινινγ τερµ ισ τηε ⇒ρ−
ινγ ρατε−στιµυλυσ χορρελατιον φυνχτιον εϖαλυατεδ ατ −τ, Θ rσ (−τ). Τηε τερµ
ιν λαργε παρεντηεσεσ ον τηε λεφτ σιδε οφ 2.52 ισ τηε στιµυλυσ αυτοχορρελατιον
φυνχτιον. Βψ σηιφτινγ τηε ιντεγρατιον ϖαριαβλε τ → τ + τ, ωε⇒νδ τηατ ιτ ισ
Θ σσ (τ − τ ′ ), σο 2.52 χαν βε ρε−εξπρεσσεδ ιν τηε φορµ οφ εθυατιον 2.4.
Εθυατιον 2.6 προϖιδεσ τηε σολυτιον το εθυατιον 2.4 ονλψ φορ α ωηιτε−νοισε
στιµυλυσ. Φορ αν αρβιτραρψ στιµυλυσ, εθυατιον 2.4 χαν εασιλψ βε σολϖεδ βψ
τηε µετηοδ οφ Φουριερ τρανσφορµσ ιφ ωε ιγνορε χαυσαλιτψ ανδ αλλοω τηε εσ−
τιµατεδ ρατε ατ τιµε τ το δεπενδ ον τηε στιµυλυσ ατ τιµεσ λατερ τηαν τ, σο
τηατ
r εστ (τ) = r 0 +
∫ ∞
−∞
ι=0
δτ ∆(τ)σ(τ − τ). (2.53)
Τηε εστιµατε ωριττεν ιν τηισ αχαυσαλ φορµ σατισ⇒εσ α σλιγητλψ µοδι⇒εδ ϖερ−
σιον οφ εθυατιον 2.4,
∫ ∞
−∞
δτ ′ Θ σσ (τ − τ ′ )∆(τ ′ ) = Θ rσ (−τ). (2.54)
Ωε δε⇒νε τηε Φουριερ τρανσφορµσ (σεε τηε Ματηεµατιχαλ Αππενδιξ)
˜∆(ω) =
∫ ∞
−∞
δτ ∆(τ) εξπ(ιωτ) ανδ ˜Θσσ (ω) =
ασ ωελλ ασ ˜Θrσ (ω) δε⇒νεδ αναλογουσλψ το ˜Θσσ (ω).
∫ ∞
−∞
δτ Θ σσ (τ)εξπ(ιωτ),
(2.55)
Εθυατιον 2.54 ισ σολϖεδ βψ τακινγ τηε Φουριερ τρανσφορµ οφ βοτη σιδεσ. Τηε
ιντεγραλ οφ τηε προδυχτ οφ τωο φυνχτιονσ τηατ αππεαρσ ον τηε λεφτ σιδε οφ
εθυατιον 2.54 ισ χαλλεδ α χονϖολυτιον. Το εϖαλυατε ιτσ Φουριερ τρανσφορµ, ωε
µακε υσε οφ αν ιµπορταντ τηεορεµ στατινγ τηατ τηε Φουριερ τρανσφορµ οφ α
χονϖολυτιον ισ τηε προδυχτ οφ τηε Φουριερ τρανσφορµσ οφ τηε τωο φυνχτιονσ
ινϖολϖεδ (σεε τηε Ματηεµατιχαλ Αππενδιξ),
∫ ∞
−∞
δτ εξπ(ιωτ)
∫ ∞
−∞
δτ ′ Θ σσ (τ − τ ′ )∆(τ ′ ) = ˜∆(ω) ˜Θσσ (ω). (2.56)