Theoretical Neuroscience

4.2 Ινφορµατιον ανδ Εντροπψ Μαξιµιζατιον 141
τηε αχτυαλ σπατιαλ κερνελ ∆ σ (⃗ξ) (⇒γυρε 4.3Β) αρε πλοττεδ υνδερ χονδιτιονσ
οφ λοω ανδ ηιγη νοισε. Τηε λινεαρ κερνελσ ιν ⇒γυρε 4.3Β ηαϖε βεεν χον−
É
στρυχτεδ βψ ασσυµινγ τηατ ∆ σ (⃗κ) σατισ⇒εσ εθυατιον 4.47 ανδ ισ ρεαλ, ωηιχη
µινιµιζεσ τηε σπατιαλ εξτεντ οφ τηε ρεσυλτινγ ρεχεπτιϖε ⇒ελδ. Τηε ρεσυλτινγ
φυνχτιον ∆ σ (⃗ξ) ισ ραδιαλλψ σψµµετριχ, σο ιτ δεπενδσ ονλψ ον τηε διστανχε
|⃗ξ| φροµ τηε χεντερ οφ τηε ρεχεπτιϖε ⇒ελδ το τηε ποιντ ⃗ξ, ανδ τηισ ραδιαλ δε−
πενδενχε ισ πλοττεδ ιν ⇒γυρε 4.3Β. Υνδερ λοω νοισε χονδιτιονσ (σολιδ λινεσ
ιν ⇒γυρε 4.3), τηε λινεαρ κερνελ ηασ α βανδπασσ χηαραχτερ ανδ τηε πρεδιχτεδ
ρεχεπτιϖε ⇒ελδ ηασ α χεντερ−συρρουνδ στρυχτυρε, ωηιχη µατχηεσ τηε ρετιναλ
γανγλιον ρεχεπτιϖε ⇒ελδσ σηοων ιν χηαπτερ 2. Τηισ στρυχτυρε ελιµινατεσ
ονε µαϕορ σουρχε οφ ρεδυνδανχψ ιν νατυραλ σχενεσ: τηε στρονγ σιµιλαριτψ οφ
νειγηβορινγ ινπυτσ οωινγ το τηε πρεδοµινανχε οφ λοω σπατιαλ φρεθυενχιεσ
ιν ιµαγεσ.
Ωηεν τηε νοισε λεϖελ ισ ηιγη (δασηεδ λινεσ ιν ⇒γυρε 4.3), τηε στρυχτυρε οφ
τηε οπτιµαλ ρεχεπτιϖε ⇒ελδ ισ διφφερεντ. Ιν σπατιαλ φρεθυενχψ τερµσ, τηε ⇒λτερ
ισ νοω λοω−πασσ, ανδ τηε ρεχεπτιϖε ⇒ελδ λοσεσ ιτσ συρρουνδ. Τηισ στρυχτυρε
αϖεραγεσ οϖερ νειγηβορινγ πιξελσ το εξτραχτ τηε τρυε σιγναλ οβσχυρεδ βψ τηε
υνχορρελατεδ νοισε. Ιν τηε ρετινα, ωε εξπεχτ τηε σιγναλ−το−νοισε ρατιο το βε
χοντρολλεδ βψ τηε λεϖελ οφ αµβιεντ λιγητ, ωιτη λοω λεϖελσ οφ ιλλυµινατιον
χορρεσπονδινγ το τηε ηιγη−νοισε χασε. Τηε πρεδιχτεδ χηανγε ιν τηε ρεχεπ−
τιϖε ⇒ελδσ ατ λοω ιλλυµινατιον (ηιγη νοισε) µατχηεσ ωηατ αχτυαλλψ ηαππενσ
ιν τηε ρετινα. Ατ λοω λιγητ λεϖελσ, χιρχυιτρψ χηανγεσ ωιτηιν τηε ρετινα ρε−
µοϖε τηε οπποσινγ συρρουνδσ φροµ ρετιναλ γανγλιον χελλ ρεχεπτιϖε ⇒ελδσ.
Τεµποραλ Προχεσσινγ ιν τηε ΛΓΝ
Νατυραλ ιµαγεσ τενδ το χηανγε ρελατιϖελψ σλοωλψ οϖερ τιµε. Τηισ µεανσ
τηατ τηερε ισ συβσταντιαλ ρεδυνδανχψ ιν τηε συχχεσσιον οφ νατυραλ ιµαγεσ,
συγγεστινγ αν οππορτυνιτψ φορ εφ⇒χιεντ τεµποραλ ⇒λτερινγ το χοµπλεµεντ
εφ⇒χιεντ σπατιαλ ⇒λτερινγ. Αν αναλψσισ σιµιλαρ το τηατ οφ τηε πρεϖιουσ σεχτιον
χαν βε περφορµεδ το αχχουντ φορ τηε τεµποραλ ρεχεπτιϖε ⇒ελδσ οφ ϖισυαλλψ
ρεσπονσιϖε νευρονσ εαρλψ ιν τηε ϖισυαλ πατηωαψ. Ρεχαλλ τηατ τηε πρεδιχτεδ
λινεαρ τεµποραλ ρεσπονσε ισ γιϖεν βψ Λ τ (τ), ασ εξπρεσσεδ ιν εθυατιον 4.34.
Τηε αναλογ οφ εθυατιον 4.37 φορ τεµποραλ δεχορρελατιον ανδ ϖαριανχε εθυαλ−
ιζατιον ισ
〈Λ τ (τ)Λ τ (τ ′ )〉=σ 2 Λ δ(τ − τ′ ). (4.48)
Τηισ ισ µατηεµατιχαλλψ ιδεντιχαλ το εθυατιον 4.37 εξχεπτ τηατ τηε ρολε οφ
τηε σπατιαλ ϖαριαβλεσ ⃗α ανδ ⃗ β ηασ βεεν ρεπλαχεδ βψ τηε τεµποραλ ϖαριαβλεσ
τ ανδ τ ′ . Τηε αναλψσισ προχεεδσ εξαχτλψ ασ αβοϖε, ανδ τηε οπτιµαλ ⇒λτερ ισ
τηε προδυχτ οφ α νοισε ⇒λτερ ανδ α τεµποραλ ωηιτενινγ ⇒λτερ, ασ βεφορε. Τηε
τεµποραλ λινεαρ κερνελ ∆ τ (τ) ισ ωριττεν ιν τερµσ οφ ιτσ Φουριερ τρανσφορµ,
∆ τ (τ) = 1
2π
∫
δω εξπ(−ιωτ)∆É τ(ω), (4.49)