Theoretical Neuroscience

294 Πλαστιχιτψ ανδ Λεαρνινγ
οχυλαρ δοµινανχε
οχυλαρ δοµινανχε
στριπεσ
Οχυλαρ δοµινανχε ρεφερσ το τηε τενδενχψ οφ ινπυτ το νευρονσ ιν τηε αδυλτ
πριµαρψ ϖισυαλ χορτεξ οφ µανψ µαµµαλιαν σπεχιεσ το φαϖορ ονε εψε οϖερ
τηε οτηερ. Τηισ ισ εσπεχιαλλψ τρυε φορ νευρονσ ιν λαψερ 4, ωηιχη ρεχειϖε εξ−
τενσιϖε ιννερϖατιον φροµ τηε ΛΓΝ. Νευρονσ δοµινατεδ βψ ονε εψε ορ τηε
οτηερ οχχυπψ διφφερεντ πατχηεσ οφ χορτεξ, ανδ αρεασ ωιτη λεφτ− ορ ριγητ−εψε
οχυλαρ δοµινανχε αλτερνατε αχροσσ τηε χορτεξ ιν φαιρλψ ρεγυλαρ βανδσ κνοων
ασ οχυλαρ δοµινανχε στριπεσ. Ιν α λατερ σεχτιον, ωε δισχυσσ ηοω τηισ χορτιχαλ
µαπ χαν αρισε φροµ Ηεββιαν πλαστιχιτψ.
Σινγλε Ποστσψναπτιχ Νευρον
Εθυατιον 8.5, ωηιχη σηοωσ τηε χονσεθυενχε οφ αϖεραγινγ τηε βασιχ Ηεββ
ρυλε οϖερ αλλ τηε πρεσψναπτιχ τραινινγ παττερνσ, ισ α λινεαρ εθυατιον φορ ω.
Προϖιδεδ τηατ ωε ιγνορε ανψ χονστραιντσ ον ω, ιτ χαν βε αναλψζεδ υσινγ
στανδαρδ τεχηνιθυεσ φορ σολϖινγ διφφερεντιαλ εθυατιονσ (σεε χηαπτερ 7 ανδ
τηε Ματηεµατιχαλ Αππενδιξ). Ιν παρτιχυλαρ, ωε υσε τηε µετηοδ οφ µατριξ
διαγοναλιζατιον, ωηιχη ινϖολϖεσ εξπρεσσινγ ω ιν τερµσ οφ τηε ειγενϖεχτορσ
οφ Θ. Τηεσε αρε δενοτεδ βψ ε µ ωιτη µ = 1, 2,···, Ν υ , ανδ τηεψ σατισφψ
Θ · ε µ = λ µ ε µ . Φορ χορρελατιον ορ χοϖαριανχε µατριχεσ, αλλ τηε ειγενϖαλυεσ,
λ µ φορ αλλ µ, αρε ρεαλ ανδ νοννεγατιϖε, ανδ φορ χονϖενιενχε ωε ορδερ τηεµ
σο τηατ λ 1 ≥ λ 2 ≥ ...≥ λ Νυ .
Ανψ Ν υ −διµενσιοναλ ϖεχτορ χαν βε ρεπρεσεντεδ υσινγ τηε ειγενϖεχτορσ ασ
α βασισ, σο ωε χαν ωριτε
∑Ν υ
ω(τ) = χ µ (τ)ε µ , (8.19)
µ=1
ωηερε τηε χοεφ⇒χιεντσ αρε εθυαλ το τηε δοτ προδυχτσ οφ ω ωιτη τηε χορρε−
σπονδινγ ειγενϖεχτορσ. Φορ εξαµπλε, ατ τιµε 0, χ µ (0) = ω(0) · ε µ . Ωριτ−
ινγ ω ασ α συµ οφ ειγενϖεχτορσ τυρνσ µατριξ µυλτιπλιχατιον ιντο ορδι−
ναρψ µυλτιπλιχατιον, µακινγ χαλχυλατιονσ εασιερ. Συβστιτυτινγ τηε εξπαν−
σιον 8.19 ιντο 8.5 ανδ φολλοωινγ τηε προχεδυρε πρεσεντεδ ιν χηαπτερ 7 φορ
ισολατινγ υνχουπλεδ εθυατιονσ φορ τηε χοεφ⇒χιεντσ, ωε ⇒νδ τηατ χ µ (τ) =
χ µ (0) εξπ(λ µ τ/τ w ). Γοινγ βαχκ το εθυατιον 8.19, τηισ µεανσ τηατ
πρινχιπαλ
ειγενϖεχτορ
∑Ν υ
( )
λµ τ (ω(0) )
ω(τ) = εξπ · εµ εµ . (8.20)
τ w
µ=1
Τηε εξπονεντιαλ φαχτορσ ιν 8.20 αλλ γροω οϖερ τιµε, βεχαυσε τηε ειγενϖαλυεσ
λ µ αρε ποσιτιϖε φορ αλλ µ ϖαλυεσ. Φορ λαργε τ, τηε τερµ ωιτη τηε λαργεστ ϖαλυε
οφ λ µ (ασσυµινγ ιτ ισ υνιθυε) βεχοµεσ µυχη λαργερ τηαν ανψ οφ τηε οτηερ
τερµσ ανδ δοµινατεσ τηε συµ φορ ω. Τηισ λαργεστ ειγενϖαλυε ηασ τηε λαβελ
µ = 1, ανδ ιτσ χορρεσπονδινγ ειγενϖεχτορ ε 1 ισ χαλλεδ τηε πρινχιπαλ ειγεν−
ϖεχτορ. Τηυσ, φορ λαργε τ, ω ∝ ε 1 το α γοοδ αππροξιµατιον, προϖιδεδ τηατ
ω(0) · ε 1 ≠ 0. Αφτερ τραινινγ, τηε ρεσπονσε το αν αρβιτραρψ ινπυτ ϖεχτορ υ ισ
ωελλ αππροξιµατεδ βψ
v ∝ ε 1 · υ. (8.21)