Theoretical Neuroscience

84 Ρεϖερσε Χορρελατιον ανδ ςισυαλ Ρεχεπτιϖε Φιελδσ
οπτιµαλ) ωηεν νονλινεαριτιεσ αρε πρεσεντ. Τηε σελφ−χονσιστενχψ χονδιτιον
ισ τηατ ωηεν τηε νονλινεαρ εστιµατε r εστ = r 0 + Φ(Λ(τ)) ισ συβστιτυτεδ ιντο
εθυατιον 2.6, τηε ρελατιονσηιπ βετωεεν τηε λινεαρ κερνελ ανδ τηε ⇒ρινγ ρατε−
στιµυλυσ χορρελατιον φυνχτιον σηουλδ στιλλ ηολδ. Ιν οτηερ ωορδσ, ωε ρεθυιρε
τηατ
∆(τ) = 1
σ 2 σ Τ
∫ Τ
0
δτr εστ (τ)σ(τ − τ) = 1
σ 2 σ Τ
∫ Τ
0
δτ Φ(Λ(τ))σ(τ − τ). (2.63)
Ωε ηαϖε δροππεδ τηε r 0 τερµ βεχαυσε τηε τιµε ιντεγραλ οφ σ ισ 0. Ιν γεν−
εραλ, εθυατιον 2.63 δοεσ νοτ ηολδ, βυτ ιφ τηε στιµυλυσ υσεδ το εξτραχτ ∆
ισ Γαυσσιαν ωηιτε νοισε, εθυατιον 2.63 ρεδυχεσ το α σιµπλε νορµαλιζατιον
χονδιτιον ον τηε φυνχτιον Φ. Τηισ ρεσυλτ ισ βασεδ ον τηε ιδεντιτψ, ϖαλιδ φορ α
Γαυσσιαν ωηιτε−νοισε στιµυλυσ,
1
σ 2 σ Τ
∫ Τ
0
δτ Φ(Λ(τ))σ(τ − τ) = ∆(τ)
Τ
∫ Τ
0
δτ δΦ(Λ(τ))
δΛ
. (2.64)
Φορ τηε ριγητ σιδε οφ τηισ εθυατιον το βε ∆(τ), τηε ρεµαινινγ εξπρεσσιον,
ινϖολϖινγ τηε ιντεγραλ οφ τηε δεριϖατιϖε οφ Φ, µυστ βε εθυαλ το 1. Τηισ χαν
βε αχηιεϖεδ βψ αππροπριατε σχαλινγ οφ Φ. Τηε χριτιχαλ ιδεντιτψ 2.64 ισ βασεδ
ον ιντεγρατιον βψ παρτσ φορ α Γαυσσιαν ωειγητεδ ιντεγραλ. Α σιµπλι⇒εδ
προοφ ισ πρεσεντεδ ασ α προβλεµ ον τηε εξερχισε ωεβ σιτε.
2.10 Αννοτατεδ Βιβλιογραπηψ
Μαρµαρελισ & Μαρµαρελισ (1978), Ριεκε ετ αλ. (1997), ανδ Γαββιανι &
Κοχη (1998) προϖιδε γενεραλ δισχυσσιονσ οφ ρεϖερσε−χορρελατιον µετηοδσ.
Α υσεφυλ ρεφερενχε ρελεϖαντ το ουρ πρεσεντατιον οφ τηειρ αππλιχατιον το τηε
ϖισυαλ σψστεµ ισ Χαρανδινι ετ αλ. (1996). ςολτερρα ανδ Ωιενερ φυνχτιοναλ
εξπανσιονσ αρε δισχυσσεδ ιν Ωιενερ (1958) ανδ Μαρµαρελισ & Μαρµαρελισ
(1978).
Γενεραλ ιντροδυχτιονσ το τηε ϖισυαλ σψστεµ ινχλυδε Ηυβελ & Ωιεσελ (1962,
1977), Ορβαν (1984), Ηυβελ (1988), Ωανδελλ (1995), ανδ ∆ε ςαλοισ & ∆ε
ςαλοισ (1990). Ουρ τρεατµεντ φολλοωσ ∆οωλινγ (1987) ον προχεσσινγ ιν τηε
ρετινα, ανδ Σχηωαρτζ (1977), ςαν Εσσεν ετ αλ. (1984), ανδ Ροϖαµο & ςιρσυ
(1984) ον ασπεχτσ οφ τηε ρετινοτοπιχ µαπ φροµ τηε εψε το τηε βραιν. Προπερ−
τιεσ οφ τηισ µαπ αρε υσεδ το αχχουντ φορ ασπεχτσ οφ ϖισυαλ ηαλλυχινατιονσ ιν
Ερµεντρουτ & Χοωαν (1979). Ωε αλσο φολλοω Μοϖσηον ετ αλ. (1978α, 1978β)
φορ δε⇒νιτιονσ οφ σιµπλε ανδ χοµπλεξ χελλσ, ∆αυγµαν (1985) ανδ ϑονεσ &
Παλµερ (1987β) ον τηε υσε οφ Γαβορ φυνχτιονσ (Γαβορ, 1946) το δεσχριβε ϖι−
συαλ ρεχεπτιϖε ⇒ελδσ, ανδ ∆εΑνγελισ ετ αλ. (1995) ον σπαχε−τιµε ρεχεπτιϖε
⇒ελδσ. Ουρ δεσχριπτιον οφ τηε ενεργψ µοδελ οφ χοµπλεξ χελλσ ισ βασεδ ον
Αδελσον & Βεργεν (1985), ωηιχη ισ ρελατεδ το ωορκ βψ Πολλεν & Ροννερ
(1982), ςαν Σαντεν & Σπερλινγ (1984), ανδ Ωατσον & Αηυµαδα (1985), ανδ
το εαρλιερ ιδεασ οφ Ρειχηαρδτ (1961) ανδ Βαρλοω & Λεϖιχκ (1965). Ηεεγερσ
(1992, 1993) µοδελ οφ χοντραστ σατυρατιον ισ ρεϖιεωεδ ιν Χαρανδινι ετ αλ.