Theoretical Neuroscience

Α.3 ∆ιφφερεντιαλ Εθυατιονσ 411
οφ εθυατιον Α.59, ωε µυστ ηαϖε φ(ϖ ∞ ) = 0. Γενεραλ σολυτιονσ οφ εθυα−
τιον Α.59 ωηεν φ ισ νονλινεαρ χαννοτ βε χονστρυχτεδ, βυτ ωε χαν υσε λινεαρ
τεχηνιθυεσ το στυδψ τηε βεηαϖιορ οφ ϖ νεαρ α ⇒ξεδ ποιντ ϖ ∞ .Ιφφ ισ λινεαρ,
τηε τεχηνιθυεσ ωε υσε ανδ τηε σολυτιονσ ωε οβταιν ασ αππροξιµατιονσ ιν
τηε νονλινεαρ χασε αρε εξαχτ. Νεαρ τηε ⇒ξεδ ποιντ ϖ ∞ , ωε ωριτε
ϖ(τ) = ϖ ∞ + ǫ(τ)
(Α.60)
ανδ χονσιδερ τηε χασε ωηεν αλλ τηε χοµπονεντσ οφ τηε ϖεχτορ ǫ αρε σµαλλ.
Τηεν, ωε χαν εξπανδ φ ιν α Ταψλορ σεριεσ,
Ταψλορ σεριεσ
φ(ϖ(τ)) ≈ φ(ϖ ∞ ) + ϑ · ǫ(τ) = ϑ · ǫ(τ),
(Α.61)
ωηερε ϑ ισ τηε χαλλεδ τηε ϑαχοβιαν µατριξ ανδ ηασ ελεµεντσ
ϑαχοβιαν µατριξ
ϑ αβ = ∂φ α(ϖ)
∂v β
∣ ∣∣∣ϖ=ϖ∞
. (Α.62)
Ιν τηε σεχονδ εθυαλιτψ οφ εθυατιον Α.61, ωε ηαϖε υσεδ τηε φαχτ τηατ φ(ϖ ∞ ) =
0.
Υσινγ τηε αππροξιµατιον οφ εθυατιον Α.61, εθυατιον Α.59 βεχοµεσ
δǫ
δτ = ϑ · ǫ.
(Α.63)
Τηε τεµποραλ εϖολυτιον οφ ϖ(τ) ισ βεστ υνδερστοοδ βψ εξπανδινγ ǫ ιν τηε
βασισ προϖιδεδ βψ τηε ειγενϖεχτορσ οφ ϑ. Ασσυµινγ τηατ ϑ ισ ρεαλ ανδ ηασ Ν
λινεαρλψ ινδεπενδεντ ειγενϖεχτορσ ε 1 ,...,ε Ν ωιτη διφφερεντ ειγενϖαλυεσ
λ 1 ,...,λ Ν , ωε ωριτε
Ν∑
ǫ(τ) = χ µ (τ)ε µ .
µ=1
(Α.64)
Συβστιτυτινγ τηισ ιντο εθυατιον Α.63, ωε ⇒νδ τηατ τηε χοεφ⇒χιεντσ µυστ σατ−
ισφψ
Τηισ προδυχεσ τηε σολυτιον
δχ µ
δτ
= λ µ χ µ . (Α.65)
Ν∑
ǫ(τ) = χ µ (0) εξπ(λ µ τ)ε µ ,
µ=1
(Α.66)
ωηερε ǫ(0) = ∑ µ χ µ(0)ε µ . Τηε ινδιϖιδυαλ τερµσ ιν τηε συµ ον τηε ριγητ
σιδε οφ εθυατιον Α.66 αρε χαλλεδ µοδεσ. Τηισ σολυτιον ισ εξαχτ φορ εθυα−
τιον Α.63, βυτ ισ ονλψ α ϖαλιδ αππροξιµατιον ωηεν αππλιεδ το εθυατιον Α.59
ιφ ǫ ισ σµαλλ. Νοτε τηατ τηε διφφερεντ χοεφ⇒χιεντσ χ µ εϖολϖε οϖερ τιµε, ιν−
δεπενδεντλψ οφ εαχη οτηερ. Τηισ δοεσ νοτ ρεθυιρε τηε ειγενϖεχτορσ το βε
ορτηογοναλ. Ιφ τηε ειγενϖαλυεσ ανδ ειγενϖεχτορσ αρε χοµπλεξ, ϖ(τ) ωιλλ
νονετηελεσσ ρεµαιν ρεαλ ιφ ϖ(0) ισ ρεαλ, βεχαυσε τηε χοµπλεξ µοδεσ χοµε
µοδεσ