Theoretical Neuroscience

170 Μοδελ Νευρονσ Ι: Νευροελεχτρονιχσ
γατινγ εθυατιον
Τηε ⇒ρστ τερµ ιν εθυατιον 5.16 δεσχριβεσ τηε οπενινγ προχεσσ, ανδ τηε σεχ−
ονδ τερµ τηε χλοσινγ προχεσσ (ηενχε τηε µινυσ σιγν) τηατ λοωερσ τηε προβ−
αβιλιτψ οφ βεινγ ιν τηε χον⇒γυρατιον ωιτη αν οπεν συβυνιτ γατε. Εθυα−
τιον 5.16 χαν βε ωριττεν ιν ανοτηερ υσεφυλ φορµ βψ διϖιδινγ τηρουγη βψ
α ν (ς) + β ν (ς),
τ ν (ς)
ν ∞ (ς)
ωηερε
ανδ
τ ν (ς) δν
δτ = ν ∞(ς) − ν, (5.17)
τ ν (ς) =
ν ∞ (ς) =
1
α ν (ς) + β ν (ς)
(5.18)
α ν (ς)
α ν (ς) + β ν (ς) . (5.19)
Εθυατιον 5.17 ινδιχατεσ τηατ φορ α ⇒ξεδ ϖολταγε ς, ν αππροαχηεσ τηε λιµιτ−
ινγ ϖαλυε ν ∞ (ς) εξπονεντιαλλψ ωιτη τιµε χονσταντ τ ν (ς).
Τηε κεψ ελεµεντσ ιν τηε εθυατιον τηατ δετερµινεσ ν αρε τηε οπενινγ ανδ
χλοσινγ ρατε φυνχτιονσ α ν (ς) ανδ β ν (ς). Τηεσε αρε οβταινεδ βψ ⇒ττινγ εξ−
περιµενταλ δατα. Ιτ ισ υσεφυλ το δισχυσσ τηε φορµ τηατ ωε εξπεχτ τηεσε ρατε
φυνχτιονσ το τακε ον τηε βασισ οφ τηερµοδψναµιχ αργυµεντσ. Τηε στατε
τρανσιτιονσ δεσχριβεδ βψ α ν , φορ εξαµπλε, αρε λικελψ το βε ρατε−λιµιτεδ βψ
βαρριερσ ρεθυιρινγ τηερµαλ ενεργψ. Τηεσε τρανσιτιονσ ινϖολϖε τηε µοϖε−
µεντ οφ χηαργεδ χοµπονεντσ οφ τηε γατε αχροσσ παρτ οφ τηε µεµβρανε, σο
τηε ηειγητ οφ τηεσε ενεργψ βαρριερσ σηουλδ βε αφφεχτεδ βψ τηε µεµβρανε πο−
τεντιαλ. Τηε τρανσιτιον ρεθυιρεσ τηε µοϖεµεντ οφ αν εφφεχτιϖε χηαργε, ωηιχη
ωε δενοτε βψ θΒ α , τηρουγη τηε ποτεντιαλ ς. Τηισ ρεθυιρεσ αν ενεργψ θΒ α ς.
Τηε χονσταντ Β α ρε⇓εχτσ βοτη τηε αµουντ οφ χηαργε βεινγ µοϖεδ ανδ τηε
διστανχε οϖερ ωηιχη ιτ τραϖελσ. Τηε προβαβιλιτψ τηατ τηερµαλ ⇓υχτυατιονσ
ωιλλ προϖιδε ενουγη ενεργψ το συρµουντ τηισ ενεργψ βαρριερ ισ προπορ−
τιοναλ το τηε Βολτζµανν φαχτορ, εξπ(−θΒ α ς/κ Β Τ). Βασεδ ον τηισ αργυµεντ,
ωε εξπεχτ α ν το βε οφ τηε φορµ
α ν (ς) = Α α εξπ(−θΒ α /κ Β Τ) = Α α εξπ(−Β α ς/ς Τ ) (5.20)
φορ σοµε χονσταντ Α α . Τηε χλοσινγ ρατε β ν σηουλδ βε εξπρεσσεδ σιµιλαρλψ,
εξχεπτ ωιτη διφφερεντ χονσταντσ Α β ανδ Β β . Φροµ εθυατιον 5.19, ωε τηεν
⇒νδ τηατ ν ∞ (ς) ισ εξπεχτεδ το βε α σιγµοιδαλ φυνχτιον
ν ∞ (ς) =
1
1 + (Α β /Α α ) εξπ((Β α − Β β )ς/ς Τ ) . (5.21)
Φορ α ϖολταγε−αχτιϖατεδ χονδυχτανχε, δεπολαριζατιον χαυσεσ ν το γροω το−
ωαρδ 1, ανδ ηψπερπολαριζατιον χαυσεσ ν το σηρινκ τοωαρδ 0. Τηυσ, ωε
εξπεχτ τηατ τηε οπενινγ ρατε, α ν , σηουλδ βε αν ινχρεασινγ φυνχτιον οφ ς
(ανδ τηυσ Β α < 0), ανδ β ν σηουλδ βε α δεχρεασινγ φυνχτιον οφ ς (ανδ τηυσ
Β β > 0). Εξαµπλεσ οφ τηε φυνχτιονσ ωε ηαϖε δισχυσσεδ αρε πλοττεδ ιν ⇒γ−
υρε 5.9.