Theoretical Neuroscience

304 Πλαστιχιτψ ανδ Λεαρνινγ
δοµινατεδ βψ τηε πρινχιπαλ ειγενϖεχτορ οφ Κ. Τηε σιγν οφ τηε χοµπονεντ
[ω − ] α δετερµινεσ ωηετηερ τηε νευρον ιν τηε ρεγιον οφ τηε χορτεξ χορρε−
σπονδινγ το τηε λαβελ α ισ δοµινατεδ βψ τηε ριγητ εψε (ιφ ιτ ισ ποσιτιϖε) ορ
τηε λεφτ εψε (ιφ ιτ ισ νεγατιϖε). Οσχιλλατιονσ ιν τηε σιγνσ οφ τηε χοµπονεντσ
οφ ω − τρανσλατε ιντο οχυλαρ δοµινανχε στριπεσ.
Ωε ασσυµε τηατ τηε χοννεχτιονσ βετωεεν τηε ουτπυτ νευρονσ αρε τρανσλα−
τιον ινϖαριαντ, σο τηατ Κ αα ′ = Κ(|α − α ′ |) δεπενδσ ονλψ ον τηε σεπαρατιον
βετωεεν τηε χορτιχαλ χελλσ α ανδ α ′ . Νοτε τηατ ιτ ισ µορε χονϖενιεντ το χον−
σιδερ τηε φορµ οφ τηε φυνχτιον Κ τηαν το δισχυσσ τηε χοννεχτιονσ βετωεεν
ουτπυτ νευρονσ (Μ) διρεχτλψ. Ωε υσε α χονϖενιεντ τριχκ το ρεµοϖε εδγε
εφφεχτσ, ωηιχη ισ το ιµποσε περιοδιχ βουνδαρψ χονδιτιονσ τηατ ρεθυιρε τηε
αχτιϖιτιεσ οφ τηε υνιτσ ωιτη α = 0 ανδ α = Ν v το βε ιδεντιχαλ. Τηισ προϖιδεσ
α ρεασοναβλε µοδελ οφ α πατχη οφ τηε χορτεξ αωαψ φροµ ρεγιοναλ βουνδ−
αριεσ. Ιν σοµε χασεσ, εδγε εφφεχτσ χαν ιµποσε ιµπορταντ χονστραιντσ ον τηε
οϖεραλλ στρυχτυρε οφ µαπσ, βυτ ωε δο νοτ αναλψζε τηισ ηερε.
Ιν τηε χασε οφ περιοδιχ βουνδαρψ χονδιτιονσ, τηε ειγενϖεχτορσ οφ Κ ηαϖε
τηε φορµ
( ) 2πµα
ε α µ = χοσ − φ
(8.33)
Ν v
φορ µ = 0, 1, 2,...,Ν v /2, ανδ ωιτη α πηασε παραµετερ φ τηατ χαν τακεν
ανψ ϖαλυε φροµ 0 το 2π. Τηε ειγενϖαλυεσ αρε γιϖεν βψ τηε δισχρετε Φουριερ
τρανσφορµ ˜Κ(µ) οφ Κ(|α−α ′ |), ωηιχη ισ ρεαλ ιν τηε χασε ωε χονσιδερ (σεε τηε
Ματηεµατιχαλ Αππενδιξ). Τηε πρινχιπαλ ειγενϖεχτορ ισ τηε ειγενφυνχτιον
φροµ εθυατιον 8.33 ωιτη µ ϖαλυε χορρεσπονδινγ το τηε µαξιµυµ οφ ˜Κ(µ).
Τηε φυνχτιονσ Κ ανδ ˜Κ ιν ⇒γυρε 8.8 αρε εαχη τηε διφφερενχε οφ τωο Γαυσσιαν
φυνχτιονσ. ˜Κ ηασ βεεν πλοττεδ ασ α φυνχτιον οφ τηε σπατιαλ φρεθυενχψ κ =
2πµ/(Ν v δ), ωηερε δ ισ τηε χορτιχαλ διστανχε βετωεεν λοχατιονσ α ανδ α + 1.
Τηε ϖαλυε οφ µ χορρεσπονδινγ το τηε πρινχιπαλ ειγενϖεχτορ ισ δετερµινεδ
βψ τηε κ ϖαλυε χορρεσπονδινγ το τηε µαξιµυµ οφ τηε χυρϖε ιν ⇒γυρε 8.8Β.
Τηε οσχιλλατιονσ ιν σιγν οφ τηε πρινχιπαλ ειγενϖεχτορ, ωηιχη ισ ινδιχατεδ
βψ τηε δοττεδ λινε ιν ⇒γυρε 8.8Α, γενερατε αν αλτερνατινγ παττερν οφ λεφτ−
ανδ ριγητ−εψε ιννερϖατιον ρεσεµβλινγ τηε οχυλαρ δοµινανχε στριπεσ σεεν
ιν πριµαρψ ϖισυαλ χορτεξ (υππερ πανελ ⇒γυρε 8.7Β). Τηε λοωερ πανελ οφ ⇒γ−
υρε 8.7Β σηοωσ τηε ρεσυλτ οφ α σιµυλατιον οφ Ηεββιαν δεϖελοπµεντ οφ αν
οχυλαρ δοµινανχε µαπ φορ α ονε−διµενσιοναλ λινε αχροσσ χορτεξ χονσιστ−
ινγ οφ 512 υνιτσ. Ιν τηισ σιµυλατιον, χονστραιντσ τηατ λιµιτ τηε γροωτη οφ
σψναπτιχ ωειγητσ ηαϖε βεεν ινχλυδεδ, βυτ τηεσε δο νοτ δραµατιχαλλψ αλτερ
τηε χονχλυσιονσ οφ ουρ αναλψσισ.
Χοµπετιτιϖε Ηεββ Ρυλε
Ιν τηισ σεχτιον ανδ τηε νεξτ, ωε χονσιδερ µοδελσ τηατ δεαλ ωιτη Ηεββιαν
λεαρνινγ ανδ δεϖελοπµεντ ον α µορε αβστραχτ λεϖελ. Αλτηουγη ινσπιρεδ βψ
φεατυρεσ οφ νευραλ χιρχυιτρψ, τηεσε µοδελσ αρε λεσσ διρεχτλψ λινκεδ το νευρονσ
ανδ σψναπσεσ. Φορ εξαµπλε, τηε µοδελ δισχυσσεδ ιν τηισ σεχτιον χονσιδερσ