Theoretical Neuroscience

Α.2 Φινδινγ Εξτρεµα ανδ Λαγρανγε Μυλτιπλιερσ 409
Τηε χονδιτιον τηατ χηαραχτεριζεσ αν εξτρεµε ϖαλυε οφ τηε φυνχτιον φ(ϖ) ισ
τηατ σµαλλ χηανγεσ ϖ (ωιτη χοµπονεντσ v α )ιντηεϖεχτορϖ σηουλδ νοτ
χηανγε τηε ϖαλυε οφ τηε φυνχτιον το ⇒ρστ ορδερ ιν ϖ. Τηισ ρεσυλτσ ιν τηε
χονδιτιον
ωηερε ωε υσε τηε νοτατιον
Ν∑
[∇ φ ] α v α = 0, (Α.50)
α=1
[∇ φ ] α = ∂φ
∂v α
(Α.51)
το µακε τηε εθυατιονσ µορε χοµπαχτ. Ωιτηουτ α χονστραιντ, εθυατιον Α.50
µυστ βε σατισ⇒εδ φορ αλλ ϖ, ωηιχη χαν οχχυρ ονλψ ιφ εαχη τερµ ιν τηε συµ
ϖανισηεσ σεπαρατελψ. Τηυσ, ωε ⇒νδ τηε υσυαλ χονδιτιον φορ αν εξτρεµυµ
[∇ φ ] α = 0 (Α.52)
φορ αλλ α. Ηοωεϖερ, ωιτη α χονστραιντ συχη ασ γ(ϖ)=χονσταντ, εθυατιον Α.50
δοεσ νοτ ηαϖε το ηολδ φορ αλλ ποσσιβλε ϖ, ονλψ φορ τηοσε τηατ σατισφψ τηε
χονστραιντ. Τηε χονδιτιον ον ϖ ιµποσεδ βψ τηε χονστραιντ ισ τηατ γ χαννοτ
χηανγε το ⇒ρστ ορδερ ιν ϖ. Τηερεφορε,
Ν∑
[∇γ] α v α = 0
α=1
(Α.53)
ωιτη τηε σαµε νοτατιον φορ τηε δεριϖατιϖε υσεδ φορ γ ασ φορ φ .
Τηε µοστ οβϖιουσ ωαψ το δεαλ ωιτη τηε χονστραιντ εθυατιον Α.53 ισ το σολϖε
φορ ονε οφ τηε χοµπονεντσ οφ ϖ,σαψv χ , ωριτινγ
v χ =− 1 ∑
[∇γ] α v α .
[∇γ] χ
α≠χ
(Α.54)
Τηεν ωε συβστιτυτε τηισ εξπρεσσιον ιντο εθυατιον Α.50 το οβταιν
∑
[∇ φ ] α v α − [∇ φ ] ∑
χ
[∇γ] α v α = 0.
[∇γ] χ
α≠χ
α≠χ
(Α.55)
Βεχαυσε ωε ηαϖε ελιµινατεδ τηε χονστραιντ, τηισ εθυατιον µυστ βε σατισ⇒εδ
φορ αλλ ϖαλυεσ οφ τηε ρεµαινινγ χοµπονεντσ οφ ϖ, τηοσε ωιτη α ≠ χ, ανδ
τηυσ ωε ⇒νδ
[∇ φ ] α − [∇ φ ] χ
[∇γ] χ
[∇γ] α = 0
(Α.56)
φορ αλλ α ≠ χ. Τηε δεριϖατιϖεσ οφ φ ανδ γ αρε φυνχτιονσ οφ ϖ, σο τηεσε εθυα−
τιονσ χαν βε σολϖεδ το δετερµινε ωηερε τηε εξτρεµυµ ποιντ ισ λοχατεδ.
Ιν τηε αβοϖε δεριϖατιον, ωε ηαϖε σινγλεδ ουτ χοµπονεντ χ φορ σπεχιαλ τρεατ−
µεντ. Ωε ηαϖε νο ωαψ οφ κνοωινγ υντιλ ωε γετ το τηε ενδ οφ τηε χαλχυλα−
τιον ωηετηερ τηε παρτιχυλαρ χ ωε χηοσε λεαδσ το α σιµπλε ορ α χοµπλεξ σετ οφ