Theoretical Neuroscience

7.4 Ρεχυρρεντ Νετωορκσ 255
A
B
η
30
15
ϖ (Ηζ)
80
40
0
-180 -90 0 90
φ (deg)
180
0
-180 -90 0 90
φ (deg)
180
Φιγυρε 7.11 Α ρεχυρρεντ µοδελ οφ χοµπλεξ χελλσ. (Α) Τηε ινπυτ το τηε νετωορκ ασ
α φυνχτιον οφ σπατιαλ πηασε πρεφερενχε. Τηε ινπυτ η(φ) ισ εθυιϖαλεντ το τηατ οφ α
σιµπλε χελλ ωιτη σπατιαλ πηασε πρεφερενχε φ ρεσπονδινγ το α γρατινγ οφ 0 σπατιαλ
πηασε. (Β) Νετωορκ ρεσπονσε, ωηιχη χαν αλσο βε ιντερπρετεδ ασ τηε σπατιαλ πηασε
τυνινγ χυρϖε οφ α νετωορκ νευρον. Τηε νετωορκ ωασ γιϖεν βψ εθυατιον 7.38 ωιτη
λ 1 = 0.95. (Αδαπτεδ φροµ Χηανχε ετ αλ., 1999.)
ωαρδ ινπυτ. Τηε νετωορκ νευρονσ αλσο ρεχειϖε ρεχυρρεντ ινπυτ γιϖεν βψ
τηε ωειγητ φυνχτιον Μ(φ − φ ′ ) = λ 1 /(2πρ φ ), ωηιχη ισ τηε σαµε φορ αλλ χον−
νεχτεδ νευρον παιρσ. Ασ α ρεσυλτ, τηειρ ⇒ρινγ ρατεσ αρε δετερµινεδ βψ
τ ρ
δv(φ)
δτ
[
=−v(φ)+ η(φ) + λ 1
2π
∫ π
−π
]
δφ ′ v(φ ′ )
+
. (7.38)
Ιν τηε αβσενχε οφ ρεχυρρεντ χοννεχτιονσ (λ 1 = 0), τηε ρεσπονσε οφ α νευ−
ρον λαβελεδ βψ φ ισ v(φ)= η(φ), ωηιχη ισ εθυαλ το τηε ρεσπονσε οφ α σιµ−
πλε χελλ ωιτη πρεφερρεδ σπατιαλ πηασε φ. Ηοωεϖερ, φορ λ 1 συφ⇒χιεντλψ χλοσε
το 1, τηε ρεχυρρεντ µοδελ προδυχεσ ρεσπονσεσ τηατ ρεσεµβλε τηοσε οφ χοµ−
πλεξ χελλσ. Φιγυρε 7.11Β σηοωσ τηε ποπυλατιον ρεσπονσε, ορ εθυιϖαλεντλψ τηε
σινγλε−χελλ ρεσπονσε τυνινγ χυρϖε, οφ τηε µοδελ ιν ρεσπονσε το τηε τυνεδ ιν−
πυτ σηοων ιν Φιγυρε 7.11Α. Τηε ινπυτ, βεινγ τηε ρεσπονσε οφ α σιµπλε χελλ,
σηοωσ στρονγ τυνινγ φορ σπατιαλ πηασε. Τηε ουτπυτ τυνινγ χυρϖε, ηοωεϖερ,
ισ αλµοστ χονσταντ ασ α φυνχτιον οφ σπατιαλ πηασε, λικε τηατ οφ α χοµπλεξ
χελλ. Τηε σπατιαλ−πηασε ινσενσιτιϖιτψ οφ τηε νετωορκ ρεσπονσε ισ δυε το τηε
φαχτ τηατ τηε νετωορκ αµπλι⇒εσ τηε χοµπονεντ οφ τηε ινπυτ τηατ ισ ινδε−
πενδεντ οφ σπατιαλ πηασε, βεχαυσε τηε ειγενφυνχτιον οφ Μ ωιτη τηε λαργεστ
ειγενϖαλυε ισ σπατιαλ−πηασε ινϖαριαντ. Τηισ χηανγεσ σιµπλε χελλ ινπυτσ ιντο
χοµπλεξ χελλ ουτπυτσ.
Ωιννερ−Τακεσ−Αλλ Ινπυτ Σελεχτιον
Φορ α λινεαρ νετωορκ, τηε ρεσπονσε το τωο συπεριµποσεδ ινπυτσ ισ σιµπλψ
τηε συµ οφ τηε ρεσπονσεσ το εαχη ινπυτ σεπαρατελψ. Φιγυρε 7.12 σηοωσ ονε
ωαψ ιν ωηιχη α ρεχτιφψινγ νονλινεαριτψ µοδι⇒εσ τηισ συπερποσιτιον προπ−
ερτψ. Ιν τηισ χασε, τηε ινπυτ το τηε ρεχυρρεντ νετωορκ χονσιστσ οφ αχτιϖιτψ
χεντερεδ αρουνδ τωο πρεφερρεδ στιµυλυσ ανγλεσ, ±90 ◦ . Τηε ουτπυτ οφ τηε
νονλινεαρ νετωορκ σηοων ιν ⇒γυρε 7.12Β ισ νοτ οφ τηισ φορµ, βυτ ινστεαδ