Theoretical Neuroscience

400 Ματηεµατιχαλ Αππενδιξ
Ν∑
ϖ · υ = v α υ α .
α=1
(Α.3)
µατριξ Ω
µατριξ−ϖεχτορ
προδυχτ
µατριξ προδυχτ
σθυαρε µατριξ
ιδεντιτψ µατριξ
Κρονεχκερ δελτα
διαγοναλ µατριξ
Ματριξ µυλτιπλιχατιον ισ α βασιχ λινεαρ οπερατιον ον ϖεχτορσ. Αν Ν ρ βψ Ν χ
µατριξ Ω ισ αν αρραψ οφ Ν ρ ροωσ ανδ Ν χ χολυµνσ
⎛
⎞
Ω 11 Ω 12 ... Ω 1Ν χ
Ω 21 Ω 22 ... Ω 2Ν χ
Ω = ⎜
⎝
⎟
(Α.4)
. ⎠
Ω Ν ρ1 Ω Ν ρ2 ... Ω Ν ρΝχ
ωιτη ελεµεντσ Ω αβ φορ α = 1,...,Ν ρ ανδ β = 1,...,Ν χ . Ιν τηισ τεξτ, τηε
προδυχτ οφ α µατριξ ανδ α ϖεχτορ ισ ωριττεν ασ Ω · ϖ. Τηε δοτ ιµπλιεσ µυλτι−
πλιχατιον ανδ συµµατιον οϖερ α σηαρεδ ινδεξ, ασ ιτ δοεσ φορ τηε δοτ προδ−
υχτ. Ιφ Ω ισ αν Ν ρ βψ Ν χ µατριξ ανδ ϖ ισ α Ν χ −χοµπονεντ ϖεχτορ, Ω · ϖ ισ αν
Ν ρ −χοµπονεντ ϖεχτορ ωιτη χοµπονεντσ
∑Νχ
[Ω · ϖ] α = Ω αβ v β .
β=1
(Α.5)
Ιν χονϖεντιοναλ µατριξ νοτατιον, τηε προδυχτ οφ α µατριξ ανδ α ϖεχτορ ισ
ωριττεν ασ Ωϖ, βυτ ωε πρεφερ το υσε τηε δοτ νοτατιον το αϖοιδ φρεθυεντ οχ−
χυρρενχεσ οφ µατριξ τρανσποσεσ (σεε βελοω). Ωε σιµιλαρλψ δενοτε α µατριξ
προδυχτ ασ Ω · Μ. Ματριχεσ χαν βε µυλτιπλιεδ ιν τηισ ωαψ ονλψ ιφ τηε νυµ−
βερ οφ χολυµνσ οφ Ω, Ν χ , ισ εθυαλ το τηε νυµβερ οφ ροωσ οφ Μ. Τηεν, Ω·Μ
ισ α µατριξ ωιτη τηε σαµε νυµβερ οφ ροωσ ασ Ω ανδ τηε σαµε νυµβερ οφ
χολυµνσ ασ Μ, ανδ ωιτη ελεµεντσ
∑Νχ
[Ω · Μ] αβ = Ω αχ Μ χβ .
χ=1
(Α.6)
Α ϖεχτορ, ωριττεν ασ ιν εθυατιον Α.1, ισ εθυιϖαλεντ το α ονε−χολυµν, Ν−ροω
µατριξ, ανδ τηε ρυλεσ φορ ϖαριουσ µατριξ οπερατιονσ χαν τηυσ βε αππλιεδ το
ϖεχτορσ ασ ωελλ.
Σθυαρε µατριχεσ αρε τηοσε φορ ωηιχη Ν ρ = Ν χ = Ν. Αν ιµπορταντ σθυαρε
µατριξ ισ τηε ιδεντιτψ µατριξ Ι ωιτη ελεµεντσ
[Ι] αβ = δ αβ ,
ωηερε τηε Κρονεχκερ δελτα ισ δε⇒νεδ ασ
{ 1 ιφ α = β
δ αβ =
0 οτηερωισε.
(Α.7)
(Α.8)
Ανοτηερ ιµπορταντ τψπε οφ σθυαρε µατριξ ισ τηε διαγοναλ µατριξ, δε⇒νεδ
βψ
⎛
⎞
η 1 0 ... 0
0 η 2 ... 0
Ω = διαγ(η 1 , η 2 ,...,η Ν ) = ⎜
⎝
⎟
. ⎠ , (Α.9)
0 0 ... η Ν