Skólaskýrsla 1995 - Verzlunarskóli Íslands

c) Finnið myndmengið.
d) Finnið jöfnu snertils við fallið í punktinum x = π .
4. Gefin eru föllin f x e x
x
( ) = og g( x)
= e
− .
a) Finnið flatarmálið sem afmarkast af ferlum fallanna og línunni x = 2.
b) Finnið flatarmálið sem afmarkast af ferlum fallanna og línunni y = e.
5. Gefnir eru vektorarnir v = ( −12 , , − 2) og u = ( −4, − 47 , ) og punkturinn Q = ( 2, −3, 4)
.
a) Punkturinn Q og vektorarnir v og u ákvarða sléttu α. Finnið stikun sléttunnar.
b) Sýnið fram á að sléttan β : 2x+ 5y+ 4z+ 2= 0 sé samsíða sléttunni α.
c) Finnið fjarlægð punktsins Q frá sléttunni β.
d) Finnið vektor sem helmingar hornið á milli vektoranna v og u .
6. Fallið f er tvisvar diffranlegt. Gefið er að f ( 0) = 2 og f ′( 0)
= 1. Finnið
f ( x) ef f ′′( x) = cos( x)
.
7. Finnið markgildið lim
sin( 4x) −tan( 2x)
x→0
2x
Lesinn hluti
Stærðfræði, stærðfræðideild
1. Skilgreinið (með stærðfræðiformúlu þar sem við á):
a) einhalla fall
b) lengd ferils (einnig nefnt bogalengd)
c) pólhnit
d) tvíhyrningur
e) horn milli n-víðra vektora.
2. Sannið að fallið:
hafi diffurkvótann:
og stofnfallið:
f ( x) = a x ( a > 0 )
f ′( x) = ln( a)
⋅a x
a x F( x)
=
ln( a)
3. Gefin eru föllin f(x) og g(x) sem bæði eru diffranleg í x 0 . Sannið að diffurkvóti
fallsins:
j( x) = f ( x) ⋅ g( x)
í punktinum x 0 sé:
j′ ( x ) = f ′( x ) g( x ) + f ( x ) g′
( x )
0 0 0 0 0
4. Látum π vera sléttu gegnum punktinn ( x0, y0,
z0 ) með einingarþveril ( abc , , ). Sannið að
fjarlægð punktsins P = ( x, y, z) frá sléttunni π sé:
d( π , P)
= ax + by + cz + d
131