Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

4 Methoden der physikalischen Modellierung 31
Untergitter
Die Darstellung von geordneten Phasen oder interstitiellen Atomen im Gitter erfordert eine
Einführung des Konzeptes der Untergitter. Nach Saunders et al. (1998) werden die
Enthalpien der idealen Lösung
ideal
G mix und der nicht-idealen Lösung
xs
G mix nicht von der Ge-
samtkonzentration, sondern vielmehr von der Besetzung der verschiedenen Untergitter
bestimmt [Sau98]. Einfache Lösungsphasen wie z.B. das kfz-Gitter werden dabei als Phasen
mit einem einzigen Untergitter betrachtet. Das Untergitterkonzept ist nicht auf Kristallgitter
beschränkt, sondern stellt einen generellen phänomenologischen Ansatz dar. Die
Besetzung eines Untergitters s mit dem Element i wird durch die Platzanteile s
yi beschrie-
ben, wobei s
N i die Anzahl der Atome des Elements i auf dem Untergitter s und s
N die
Gesamtanzahl der Plätze auf diesem Untergitter ist:
s
s Ni
yi
= (4.9)
s
N
Die grundlegende Definition (4.3) der Gibbs’schen Freien Enthalpie der nicht-idealen Mischung
muss dann erweitert werden. Es ergibt sich die verallgemeinerte Redlich-Kister-
Gleichung:
0
s s s
∑PI0( ) · GI0 + ∑ N ∑ i ln( yi) ∑∑ PIZ ( Y) · LIZ
(4.10)
G = Y RT y +
I0 s i
Z> 0 IZ
In der Gleichung wird eine Komponentenmatrix I verwendet, die alle Elemente in allen Untergittern
in einer zweidimensionalen Matrix enthält. Zusätzlich wird die Platzanteilmatrix Y
eingeführt, welche die Platzanteile aller Elemente in allen Untergittern enthält. Die Pro-
s s
duktmatrix P(Y) beschreibt schließlich alle Produkte y · y , usw. Analog zur Modellierung
der nicht-idealen Lösung in einem einfachen Gitter wird auch hier ein Potenzansatz der
Ordnung I0, I1, ... IZ genutzt. Die eingehende Erläuterung des Untergitterkonzeptes würde
den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Für eine tiefgehende Abhandlung dieses Modells
wird daher auf das Buch von Saunders et al. (1998) hingewiesen [Sau98].
Mit dem Untergitterkonzept wird die Thermodynamik von stöchiometrischen Strichphasen,
geordneten Phasen und Phasen mit interstitiellen Atomen präzise modelliert. Die TCP-
Phasen können mit dem Untergitterkonzept als geordnete Phasen beschrieben werden.
Beispielweise wird die σ-Phase mit ihren 30 Atomen durch Modelle mit drei Untergittern
dargestellt. Dabei werden die stöchiometrischen Formeln (A,B)16(A,B)10(B)4 oder
(A,B)16(A)10(B)4 verwendet, bei denen unterschiedliche Annahmen zur Löslichkeit der Atomgruppen
A und B in den verschiedenen Untergittern getroffen werden und die fünf tat-
A B