Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

4 Methoden der physikalischen Modellierung 39
D
∂μ
n
V
kj =
i= 1
ik −xk
i xM i i
∂x
j
∑ ( δ )
(4.31)
⎧1
falls i = k
Dabei sind δik das Kronecker-Delta mit δik
= ⎨ und xk der Stoffmengenanteil so-
⎩0
falls i ≠ k
wie Mi die Mobilität des diffundierenden Elements i.
Nun lässt sich der in Diffusionspaaren beobachtbare Interdiffusionskoeffizient D % im volu-
menfixierten System wie folgt berechnen (für Erläuterungen zu den Diffusionskoeffizienten
siehe Anhang C).
n V V
D% = D −D
(4.32)
kj kj kn
Das abhängige Element (in diesem Fall meist Ni) wird dabei eliminiert. Im Allgemeinen ist
n
D% c, T konzentrations- und temperaturabhängig.
die Diffusionsmatrix ( )
4.4.2 Kinetische Datenbanken
kj
Analog zu den thermodynamischen Datenbanken 3 müssen die Mobilitäten aus experimentellen
Daten abgeleitet werden und in kinetischen Datenbanken gespeichert werden. Die
Mobilitäten Mi sind konzentrations- und temperaturabhängig. Man kann die Mobilität eines
Elementes nach Andersson et al. (1992) durch einen Boltzmann-Ansatz mit dem Frequenzfaktor
Θi und der Aktivierungsenergie der Diffusion i Q Δ beschreiben [And92]:
M
i
Θi⎛ ΔQi⎞
= exp ⎜− ⎟
RT ⎝ RT
⎠ (4.33)
Der Frequenzfaktor Θi setzt sich aus dem Gitterparameter a und der Sprungfrequenz ω
zusammen:
Θ = (4.34)
i
2
a · ω
Damit lässt sich die Berechnung der Konzentrations- und Temperaturabhängigkeit der
Mobilität auf die Abhängigkeiten des Frequenzfaktors Θi und der Aktivierungsenergie i Q Δ
zurückführen. Für die praktische Anwendung ist es vorteilhaft, die beiden Parameter zu
einem einzigen zu verknüpfen, da Absolutwerte dieser Parameter meist nicht von Bedeutung
sind. Daher beschränkt sich die Darstellung der Konzentrations- und Temperaturab-
hängigkeit in der Regel auf die Aktivierungsenergie i Q Δ , und der Frequenzfaktor wird als
3 siehe Kapitel 4.2.3
n
ij