Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

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der γ’-Phase muss vorhanden sein. Aus diesem Grund wurde ein numerisches Kamp-
mann-Wagner-Modell (1984) gewählt, welches für diesen Zweck mit einem CALPHAD-
Modell für die Berechnung der Thermodynamik und der Kinetik gekoppelt wurde [Kam84].
Die Abbildung 5.1 gibt einen Überblick über den Gesamtalgorithmus. Grundlegendes Prinzip
der Kampmann-Wagner-Methode ist es, die Gesamtheit der Ausscheidungen einer
bestimmten Phase in Klassen einzuteilen. Eine einzelne Klasse fasst sämtliche Ausscheidungen
zusammen, die näherungsweise zur selben Zeit ausgeschieden wurden. Daher
wird eine Klasse von Ausscheidungen durch die Anzahl der darin befindlichen Ausscheidungen
N, einem aufgrund der zeitgleichen Keimbildung einheitlichen Radius der Ausscheidungen
r sowie dem Zeitpunkt der Keimbildung tK eindeutig definiert. In der
Abbildung 5.2 werden drei Zeitschritte des Algorithmus exemplarisch dargestellt.
a) b) Klasse 2
c)
Klasse 1
Klasse 3
Abbildung 5.2: Prinzip der Ausscheidungsmodellierung. In jedem Zeitschritt findet neue
Keimbildung aufgrund der Triebkraft statt, außerdem wachsen die vorhandenen Ausscheidungen.
(a) Zeitschritt 1, (b) Zeitschritt 2 und (c) Zeitschritt 3. Sämtliche Ausscheidungen,
die sich in einem bestimmten Zeitschritt bilden, werden zu einer bestimmten Keimklasse (1,
2, ..., n) zusammengefasst. Diese ist durch die Anzahl der Keime N in der Klasse, den
(einheitlichen) Radius r und den Zeitpunkt der Keimbildung tk eindeutig definiert. Die Zugehörigkeit
zur jeweiligen Keimklasse wird in der Grafik durch den Stil der Linien symbolisiert
(Klase 1: durchgezogen, Klasse 2: gestrichelt, Klasse 3: gepunktet).
In dem eingesetzten Algorithmus wird in jedem Zeitschritt zunächst die aktuelle Keimbildungsrate
berechnet. Überschreitet diese eine bestimmte definierbare Schwelle, so wird
eine neue Keimbildungsklasse zu den bereits vorhandenen hinzugefügt. Sie umfasst alle
in diesem Zeitschritt neu gebildeten Keime. Die Anzahl wird auf Grundlage der Keimbildungsrate
berechnet und stellt ein Charakteristikum der Keimklasse dar. Nach diesem
Schritt wird das Wachstum sämtlicher bereits im System vorhandener Keimklassen ermittelt.
Dies geschieht für jede Keimklasse separat, da diese jeweils zu unterschiedlichen Zeiten
gebildet wurden. Die Wachstumsrate berechnet sich unter Berücksichtigung der aktuellen
Matrixkonzentration, die durch Ab- bzw. Anreicherung während des Ausscheidungs-