Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

5 Ergebnisse und Diskussion 64
chungssystem in aller Regel vorkonditioniert werden. Dazu müssen einzelne Gleichungen
so mit Vorfaktoren angepasst werden, dass die Zahlenwerte der verschiedenen Gleichungen
in derselben Größenordnung liegen. Dadurch wird nur die numerische Stabilität, nicht
aber die Lösung selbst beeinflusst. Zur Lösung wird der nichtlineare Optimierungsalgorithmus
fsolve von MATLAB verwendet, welcher je nach konkretem Gleichungssystem
verschiedene Algorithmen wie z.B. den Levenberg-Marquardt-Algorithmus automatisch
auswählen kann. Trotzdem ist die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems aufgrund
der vielen notwendigen CALPHAD-Berechnungen sehr zeitaufwändig und macht mehr als
95% der gesamten Rechenzeit des Modells aus. Im Modell werden, wie im vorherigen Kapitel
gezeigt, die chemischen Potentiale von Matrix und Ausscheidung benötigt. Manche
Elemente wie Tantal sind aber nur in der γ-Matrix und nicht in den TCP-Phasen löslich und
werden durch das Gleichgewicht von Matrix und Ausscheidung nicht berührt. Diese Elemente
dürfen daher in dem Modell nicht bei den Gleichgewichtsberechnungen berücksichtigt
werden. Die Anzahl der Gleichungen reduziert sich also für jedes Element, welches
nicht in der Ausscheidung löslich ist, um zwei. Für ein System Ni-A-B-C-D ergibt sich beispielsweise
folgendes nichtlineares Gleichungssystem, wenn das Element A nicht in der
Ausscheidungsphase löslich ist:
( φ) · (
Ni A D Ni A D
μP ( cP, K, cP ) − μI
( cI , K,
cI
)
B A D B A D
μP ( cP, K, cP ) − μI
( cI , K,
cI
)
C A D C A D
μP ( cP, K, cP ) − μI
( cI , K,
cI
)
D A D D A D
μP ( cP, K, cP ) − μI
( cI , K,
cI
)
B B B A D B B
P −cI ) −cI MB( cM, K,
cM )( μM −μI
) / ( ξBR)
( φ) · ( C C C A D C C
P −cI ) −cI MC( cM, K,
cM )( μM −μI
) / ( ξCR)
( φ ) · ( D D D A D D
P −cI ) −cI
MD( cM,
K,
cM )( μM D
− μI ) / ( ξDR)
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟=
⎜ ⎟
0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ −1
F v c
⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0
⎜ −1
F v c
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜0⎟ ⎝ ⎠
⎜ −1
F v c
⎟
⎝
⎠
Die Anzahl der Gleichungen hat sich also von neun auf sieben reduziert.
(5.37)
Adaptive Zeitschritte
Die Simulation der Ausscheidungsprozesse erfordert die Betrachtung zahlreicher Zeitskalen.
Die Keimbildung spielt sich auf einer Skala von Sekunden und weniger ab, während
das thermodynamische Gleichgewicht teilweise erst nach zehntausenden Stunden erfolgt
ist. Insbesondere beim Erreichen der Gleichgewichtszusammensetzung sind ausreichend
kleine Zeitschritte nötig, um eine gute numerische Stabilität zu erhalten. Zur Berücksichtigung
dieser Effekte werden adaptive Zeitschritte in den Simulationen eingeführt, die mit
zunehmendem Fortschritt der Ausscheidung größer werden. Das Modell von Sourmail