Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

4 Methoden der physikalischen Modellierung 37
r
j D
n−1
n
k =−∑
kj
j=
1
%
∂c
j
∂x
(4.24)
r
Dabei ist jk
der Fluss des Elements k, cj die Konzentration des Elementes j und n
D kj
% die
Matrix der Interdiffusionskoeffizienten der Dimension ( n 1) ( n 1)
− × − mit dem Referenzele-
ment n (hier also Ni), der diffundierenden Spezies k und der Gradientenspezies j. Die
Formel berücksichtigt den Kreuzdiffusionseinfluss der Konzentrationsgradienten ∂c / ∂ z
sämtlicher Elemente j auf die Diffusion des Elements k. Das hier vorgestellte Modell geht
von einem Diffusionsmechanismus durch Leerstellenaustausch aus [And02].
Für die weiteren Betrachtungen ist es zunächst notwendig, Bezugssysteme einzuführen,
auf welche die Diffusion bezogen werden kann (für weitere Erläuterungen zu den Bezugssystemen
siehe Anhang C) [And92]. Dazu wird zunächst das volumenfixierte Bezugssystem
definiert, bei dem kein Nettofluss von Volumen im System auftritt.
n
∑ jV k k
k = 1
r
= 0
j
(4.25)
Dieses System entspricht den Beobachtungen in Experimenten. Im Gegensatz dazu betrachtet
das gitterfixierte System die Diffusion relativ zum Atomgitter. Das ist die übliche
Methode für atomistische Beschreibungen der Diffusion z.B. mit Hilfe von Leerstellenmechanismen.
Sie ist aber experimentell nicht zugänglich, da sich das Gitter aufgrund der
Wanderung von Leerstellen selbst bewegt. Die Umrechnung zwischen dem Fluss V r
j j in
dem volumenfixierten und G r
j j in dem gitterfixierten System ist wie folgt möglich, wobei S die
substitutionellen Atome sind [And92].
rV ji r r G G
= ji −ui· ∑ j j
(4.26)
Hierbei ist die Konzentrationsvariable ui folgendermaßen definiert.
xi
ui
=
∑ x j
(4.27)
j∈S Mobilitäten
Der Diffusionskoeffizient ist wie in Gleichung (4.24) erkennbar der Proportionalitätsfaktor
zwischen Konzentrationsgradient und Fluss. Dieses Konzept hat den Nachteil, dass für ein
Multikomponentensystem der Diffusionskoeffizient zur Matrix wird und damit ( n− 1) × ( n−
1)
Komponenten zu bestimmen sind. Die Diagonalelemente der Matrix nennt man Kreuzdiffusionskoeffizienten.
j∈S