Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

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4 Methoden der physikalischen Modellierung 48 r i j = v⋅ c i −c (4.46) ( ) i I P Dieser Fluss über die Grenzfläche entsteht durch Diffusion aufgrund des Konzentrations- gradienten in der Matrix an der Grenzfläche (siehe Abbildung 4.4). Mit dem 1. Fick’schen Gesetz für Multikomponentensysteme (4.24) gilt für den Fluss i j r (siehe Kapitel 4.4.1): j D c r % (4.47) n−1 i = − j= 1 n ij∇ j ∑ r Im Gleichgewicht herrscht Massenerhaltung, und es existieren daher für jedes einzelne Legierungselement außer dem abhängigen Element Nickel folgende n-1 Flussgleichge- wichte aus (4.46) und (4.47) [Che08]: i i ( ) n−1 n P I ij j j= 1 ∑ r v⋅c − c = D% ∇c (4.48) Man erkennt nun, warum das lokale Gleichgewicht mit den Konzentrationen i c P und nicht unbedingt dem globalen Gleichgewicht entsprechen muss. Die Grenzfläche bewegt sich mit der eindeutig definierten Wachstumsgeschwindigkeit v und diese Geschwindigkeit ist für sämtliche Legierungselemente i identisch, da die Grenzfläche nur dann eine eindeu- tige Phasengrenze darstellt, wenn zu jedem Zeitpunkt alle Elemente dort den Übergang von der Matrix- zur Grenzflächenkonzentration haben. Im Allgemeinen erfüllt die Mas- sengleichgewichtskonode aber nicht das Flussgleichgewicht (4.48), sondern führt aufgrund der unterschiedlichen Diffusionskoeffizienten zu verschiedenen Wachstumsge- schwindigkeiten für die verschiedenen Legierungselemente. Dies ist insbesondere dann einsichtig, wenn Legierungselemente wie Bor oder Kohlenstoff mit sehr großen Diffusions- koeffizienten in der Legierung vorhanden sind. Das sich ausbildende lokale Gleichgewicht weicht so vom globalen Gleichgewicht ab, dass die veränderte Grenzflächenzusammensetzung die Unterschiede bei den Diffusionskoeffizienten ausgleicht. Die dazugehörige Konode wird als Flussgleichgewichtskonode bezeichnet. Zur Berechnung der Grenzflächeneigenschaften während des Wachstums müssen also die 2n-1 Variablen der Wachs- tumsgeschwindigkeit v sowie der Grenzflächenkonzentrationen i c P und i c I i c I für jeden Zeit- schritt bestimmt werden. Dafür stehen die insgesamt 2n-1 lokalen thermodynamischen Gleichgewichte und Flussgleichgewichte zur Verfügung und bilden ein nichtlineares Gleichungssystem. Die vollständige Lösung dieses Systems ist aufwändig, da dafür eine Vielzahl thermodynamischer Gleichgewichtsberechnungen notwendig ist.
5 Ergebnisse und Diskussion 49 5 Ergebnisse und Diskussion 5.1 Ableitung des eingesetzten Ausscheidungsmodells In diesem Kapitel erfolgt die Ableitung des angewandten Modells, welches auf einem so- genannten numerischen Kampmann-Wagner-Algorithmus (1984) beruht [Kam84]. Nach einem Gesamtüberblick folgen die detaillierten Ableitungen der zwei wesentlichen Teile, das Keimbildungs- und das Wachstumsmodell. t = t + dt Start Berechnung Matrixkonzentration im Gleichgewicht γ + γ’ t = 0 n = 0 p = 0 neue Keimbildung Wachstum / Auflösung existierender Ausscheidungen Berechnung Konzentrationsänderung Matrix p der Ausscheidungskinetik für die p Phasen in n Ausscheidungsklassen unter vollständiger Berücksichtigung der Multikomponenteneffekte. Das entwickelte Multikomponentenausscheidungsmodell sollte folgenden Anforderungen genügen: Es muss beliebig viele, typischerweise acht oder mehr Legierungselemente berücksichtigen. Die Berechnung von Ausscheidungssequenzen mit der parallelen Ausscheidung von verschiedenen Phasen muss simuliert werden, und die Wechselwirkung mit
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Verzeichnis der Formelzeichen und A
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Literaturverzeichnis 121 [Gas88] Ga
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Literaturverzeichnis 123 [Koz04] Ko
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Literaturverzeichnis 125 densities
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Literaturverzeichnis 127 [Sin94] Si
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Anhang D. Legierungen in der Abbild
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Anhang E. Parameter der Ausscheidun
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Anhang F. Zusammensetzung der unter
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Lebenslauf 145 Lebenslauf Name: Dip
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