Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank
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5 Ergebnisse und Diskussion 63<br />
Für das gesamte Gleichungssystem gilt dann:<br />
( c , K, c ) − ( c , K,<br />
c )<br />
( c , K, c ) − ( c , K,<br />
c )<br />
Ni A D Ni A D<br />
⎛ μP P P μ<br />
⎞<br />
I I I<br />
⎜ ⎟ ⎛0<br />
⎞<br />
⎜ A A D A A D<br />
μP P P μ<br />
⎟<br />
I I I<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
0<br />
⎟<br />
⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟<br />
⎜ ⎟ D A D D A D<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ μP ( cP, K, cP ) − μI<br />
( cI , K,<br />
cI<br />
)<br />
⎟= ⎜0<br />
⎟ (5.34)<br />
⎜ −1<br />
⎟<br />
A A A A D A A<br />
⎜<br />
( ) · ( ) ( , , )( ) / ( ) 0⎟<br />
⎜ F φ v cP<br />
−cI −cI M A cM K cM μM −μI<br />
ξAR<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ M<br />
⎜ M<br />
⎜ ⎟<br />
⎟ ⎜0⎟ ⎜ −1<br />
D D D A D D D ⎟ ⎝ ⎠<br />
⎜F( φ) · v( cP<br />
cI ) cI MD(<br />
cM, , cM )( μM μI ) / ( ξDR)<br />
⎟<br />
⎝<br />
− − K −<br />
⎠<br />
Mit Hilfe des Aspektverhältnisses φ lassen sich daraus die Abmaße <strong>der</strong> nicht-sphärischen<br />
<strong>Ausscheidung</strong>, die Höhe l und die Breite 2r unter Berücksichtigung <strong>der</strong> Identität <strong>der</strong> Volumina<br />
berechnen:<br />
4 3 2<br />
·2<br />
3 k r V π r π φr<br />
= = (5.35)<br />
Damit ergibt sich für die Länge l <strong>der</strong> <strong>Ausscheidung</strong> mit <strong>der</strong> Gleichung (5.27) das Folgende:<br />
2<br />
4· V· φ<br />
l = 3 (5.36)<br />
π<br />
Für das dargestellte Modell werden zylindrische <strong>Ausscheidung</strong>en angenommen, die nur<br />
näherungsweise <strong>der</strong> Realität entsprechen. Dabei wird in dem Modell implizit berücksichtigt,<br />
dass das Hauptwachstum an den kurzen Seiten stattfindet. Die Form <strong>der</strong> <strong>Ausscheidung</strong>en<br />
muss vorgegeben werden, sie ergibt sich nicht aus dem Modell.<br />
5.1.3 Numerische Aspekte<br />
Implementierung<br />
Das dargestellte und angewandte Modell wurde mit <strong>der</strong> Standardprogrammiersprache für<br />
Simulationsentwicklung, MATLAB, implementiert. Diese bietet den Vorteil einer einfachen<br />
Kopplung mit grafischen Ausgaben und verfügt bereits über wichtige für die Arbeit notwendige<br />
Lösungsalgorithmen. Dies sind insbeson<strong>der</strong>e Algorithmen zur Lösung nichtlinearer<br />
Gleichungssysteme sowie gewöhnlicher Differentialgleichungen. Die integrierten Algorithmen<br />
konnten direkt zur Berechnung <strong>der</strong> Modellgleichungen angewandt werden.<br />
Der Kern des Modells ist die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems für das lokale<br />
thermodynamische Gleichgewicht und das Flussgleichgewicht (5.34). Da das System wegen<br />
<strong>der</strong> sehr großen zahlenmäßigen Unterschiede zwischen den Flussgleichgewichten<br />
und den thermodynamischen Gleichgewichten schlecht konditioniert ist, muss das Glei-
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