Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

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5 Ergebnisse und Diskussion 64 chungssystem in aller Regel vorkonditioniert werden. Dazu müssen einzelne Gleichungen so mit Vorfaktoren angepasst werden, dass die Zahlenwerte der verschiedenen Gleichungen in derselben Größenordnung liegen. Dadurch wird nur die numerische Stabilität, nicht aber die Lösung selbst beeinflusst. Zur Lösung wird der nichtlineare Optimierungsalgorithmus fsolve von MATLAB verwendet, welcher je nach konkretem Gleichungssystem verschiedene Algorithmen wie z.B. den Levenberg-Marquardt-Algorithmus automatisch auswählen kann. Trotzdem ist die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems aufgrund der vielen notwendigen CALPHAD-Berechnungen sehr zeitaufwändig und macht mehr als 95% der gesamten Rechenzeit des Modells aus. Im Modell werden, wie im vorherigen Kapitel gezeigt, die chemischen Potentiale von Matrix und Ausscheidung benötigt. Manche Elemente wie Tantal sind aber nur in der γ-Matrix und nicht in den TCP-Phasen löslich und werden durch das Gleichgewicht von Matrix und Ausscheidung nicht berührt. Diese Elemente dürfen daher in dem Modell nicht bei den Gleichgewichtsberechnungen berücksichtigt werden. Die Anzahl der Gleichungen reduziert sich also für jedes Element, welches nicht in der Ausscheidung löslich ist, um zwei. Für ein System Ni-A-B-C-D ergibt sich beispielsweise folgendes nichtlineares Gleichungssystem, wenn das Element A nicht in der Ausscheidungsphase löslich ist: ( φ) · ( Ni A D Ni A D μP ( cP, K, cP ) − μI ( cI , K, cI ) B A D B A D μP ( cP, K, cP ) − μI ( cI , K, cI ) C A D C A D μP ( cP, K, cP ) − μI ( cI , K, cI ) D A D D A D μP ( cP, K, cP ) − μI ( cI , K, cI ) B B B A D B B P −cI ) −cI MB( cM, K, cM )( μM −μI ) / ( ξBR) ( φ) · ( C C C A D C C P −cI ) −cI MC( cM, K, cM )( μM −μI ) / ( ξCR) ( φ ) · ( D D D A D D P −cI ) −cI MD( cM, K, cM )( μM D − μI ) / ( ξDR) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 F v c ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎜ −1 F v c ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎜ −1 F v c ⎟ ⎝ ⎠ Die Anzahl der Gleichungen hat sich also von neun auf sieben reduziert. (5.37) Adaptive Zeitschritte Die Simulation der Ausscheidungsprozesse erfordert die Betrachtung zahlreicher Zeitskalen. Die Keimbildung spielt sich auf einer Skala von Sekunden und weniger ab, während das thermodynamische Gleichgewicht teilweise erst nach zehntausenden Stunden erfolgt ist. Insbesondere beim Erreichen der Gleichgewichtszusammensetzung sind ausreichend kleine Zeitschritte nötig, um eine gute numerische Stabilität zu erhalten. Zur Berücksichtigung dieser Effekte werden adaptive Zeitschritte in den Simulationen eingeführt, die mit zunehmendem Fortschritt der Ausscheidung größer werden. Das Modell von Sourmail
5 Ergebnisse und Diskussion 65 (2002) nutzt beispielsweise keine adaptiven Zeitschritte und benötigt daher sehr hohe Re- chenkapazitäten, die trotz einfacherer Modellphysik einen sinnvollen Einsatz nicht möglich machten [Sou02]. Das genutzte Konzept beruht auf einem potenziellen Anstieg der Zeit- schritte, welcher durch eine maximal zulässige Zunahme von Ausscheidungsvolumen und –radius beschränkt wird. Der g-te Zeitschritt wird zunächst wie folgt berechnet (t0 = tmin): j+ lg( t −1 ) g tg ( ) = 10 (5.38) Falls im Verlauf der Simulation die Zunahme der Schrittweite nicht durch Ausscheidungs- volumen oder –radius beschränkt wird, soll die Simulation die Endzeit tmax nach gges Schrit- ten erreichen. Daher berechnet sich der Faktor j folgendermaßen: ( t ) − t ) lg lg( j = g max min ges (5.39) Die Schrittweite wird in jedem Zeitschritt g aber nur dann erhöht, wenn die folgenden Grenzen für die Zunahme des Ausscheidungsvolumens und des –radius eingehalten werden: Vg −Vg−1 ≤Δ Vmax (5.40) V g r − r r g g−1 g ≤Δ r (5.41) Hierbei sind ΔVmax und Δrmax die maximal zulässigen Änderungen von Volumen und Radi- us innerhalb eines Zeitschritts. Thermodynamische und kinetische Berechnungen Für die Simulationen werden zahlreiche thermodynamische und kinetische Daten wie die chemischen Potentiale und die Mobilitäten benötigt. Diese werden mit der kommerziellen Bibliothek TC-API Version 4 (ThermoCalc, Stockholm, Schweden) berechnet. Dadurch wird ein direkter Zugriff auf die thermodynamischen und kinetischen CALPHAD- Datenbanken realisiert. Eine Nutzung dieser Bibliothek ist in MATLAB grundsätzlich möglich. Die CALPHAD-Berechnungen sind für die Modelle kritisch, da eine einzelne Gleichgewichtsberechnung auf dem verwendeten Rechner mit einem Pentium 4 2,8 GHz Prozessor und 1 GB Arbeitsspeicher für neun Legierungselemente rund 40 Millisekunden dauert und für eine Simulation Millionen solcher Berechnungen nötig sind. Daher machen die thermodynamischen und kinetischen Berechnungen mehr als 95% des Aufwandes der Modelle aus und führen momentan zu Rechenzeiten von teilweise mehr als zehn Stunden für die Ausscheidungssimulation der TCP-Phasen in einer Superlegierung. max
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