Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

5 Ergebnisse und Diskussion 52
Hierbei wird die Enthalpie eines Keims durch die thermodynamische Triebkraft ΔGv, die
Grenzflächenenergie γ sowie die Verformungsenthalpie ΔGs aufgrund der Fehlpassung
des Keims in der Matrix beschrieben:
Δ G =−V· Δ Gv + ∑ γ iAi + V· ΔGs·
fhet
(5.1)
i
Diese Größen sind in der Abbildung 5.3 qualitativ abhängig vom Radius dargestellt. Man
erkennt, dass ein Keim erst eine kritische Größe r * erreichen muss, um selbständig unter
Enthalpiegewinn weiter zu wachsen. Diese Größe wird durch das Maximum der Enthalpiefunktion
bestimmt und lässt sich daher durch Ableitung von (5.1) für einen sphärischen
Keim wie folgt berechnen:
* 2γ
r = (5.2)
ΔG −ΔG
· f
v s het
In der Gleichung (5.2) wird zusätzlich berücksichtigt, dass die Verspannungsenthalpie ΔGs
bei der heterogenen Keimbildung reduziert ist. Ein Beispiel dafür ist die Keimbildung im
Spannungsfeld einer Versetzung. Dieser Effekt wird über den Faktor fhet berücksichtigt, der
von der Art der jeweiligen Fehlstelle abhängig ist.
Die zum kritischen Radius r * gehörige freie Enthalpie ΔG * ist die Aktivierungsenthalpie, die
aufgebracht werden muss, um den Keim zu bilden:
*
Δ G =
3
16πγ
3· ·
( ΔG −ΔG
f )
v s het
2
(5.3)
Ein Keim wird aufgrund der thermischen bedingten Selbstdiffusion der Atome gebildet.
Dabei entstehen durch Fluktuationen der thermischen Energie zufällig Bereiche in der
Matrix, in denen die Konzentration der der neuen Ausscheidungsphase entspricht. Ist der
Radius dieses Bereichs zufällig größer als der kritische Radius r * , so wächst der Keim stabil
weiter. Ist der Radius kleiner, so ist der Keim instabil und löst sich sofort wieder auf. Die
Keimbildungsrate hängt damit einerseits von der Aktivierungsenergie der Keimbildung ΔG *
( )
*
ab, was sich mit einem Boltzmann-Term exp G / ( kT)
−Δ beschreiben lässt. Andererseits
ist die Keimbildungsrate aber auch davon bestimmt, wie oft die Atome zufällig einen Bereich
mit der richtigen Zusammensetzung bilden. Dies wird durch den Faktor B beschrieben,
der die Häufigkeit solcher Ereignisse darstellt. Er wird durch die Schwingungsfre-
quenz der Atome ω, die Anzahl der verfügbaren Keimbildungsorte N0 und die Aktivie-
rungsenergie ΔGt der Selbstdiffusion im Gitter bestimmt. Da das Modell ursprünglich für