Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

5 Ergebnisse und Diskussion 54
Die Abbildung 5.4 veranschaulicht, dass die Krümmung sowohl die Grenzflächenkonzent-
rationen der Matrix als auch die der Ausscheidung gegenüber einer ungekrümmten Grenz-
fläche verändert. Man benötigt diese veränderten Grenzflächenkonzentrationen für das
Ausscheidungsmodell. Für ein binäres System lässt sich die Konzentration in der Matrix
nahe der Grenzfläche aus der Konzentration an der ungekrümmten Oberfläche cI leicht
analytisch berechnen [Por09]:
c
⎛ 2γVm
⎞
r = c ·1 ⎜ + ⎟
⎝ RTr
⎠ (5.9)
( )
kap I
Eine einfache Beispielrechnung zeigt, dass der Kapillaritätseinfluss nur für kleine Krüm-
mungsradien eine große Rolle spielt. Die Ergebnisse sind in der Tabelle 5.1 dargestellt.
Offensichtlich kann man den Kapillaritätseinfluss bei einem Radius von größer als 100 nm
weitgehend vernachlässigen.
Tabelle 5.1: Beispielhafte Berechnung der Erhöhung der Konzentration an der Grenzfläche
eines gekrümmten Keims in einem binären System mit einer Grenzflächenenergie von
0,5 J m -2 bei 800 °C. Das Molvolumen wird als 1·10 -5 m 3 mol -1 angenommen.
Radius r / nm 1 10 100
Konzentrationsüberhöhung an der Grenzfläche cKap / cI 2,12 1,10 1,01
G
G M
c I
G P
c c c I,kap P P,kap
c
Abbildung 5.4: Gibbs’sche Freien Enthalpien der Matrixphase und der Ausscheidungsphase
mit ungekrümmter (durchgezogene Linien) bzw. gekrümmter Grenzfläche (gestrichelte
Linien).
Für Multikomponentensysteme lässt sich keine exakte geschlossene Lösung des Kapillaritätsproblems
angeben. In der vorliegenden Arbeit wurde aber ausgenutzt, dass bei der
Anwendung der CALPHAD-Methode der zusätzliche Enthalpieterm unmittelbar zu der
Enthalpie der Phase in der thermodynamischen Datenbank addiert und somit das Gleichgewicht
für die gekrümmte Phase direkt mit der CALPHAD-Methode berechnet werden
kann: