Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

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5.1.2 Wachstumsmodell
Da das Wachstum der Ausscheidungen diffusionsgesteuert ist, wird die Wachstumsge-
schwindigkeit vor allem durch das lokale Gleichgewicht an der Grenzfläche zwischen Mat-
rix und Ausscheidung bestimmt (siehe Kapitel 4.5.2). Zunächst wird in diesem Abschnitt
die Berechnung des Grenzflächengleichgewichts und der Wachstumsrate für sphärische
Ausscheidungen abgeleitet. Anschließend wird das Modell für die Berechnung der Matrix-
an- bzw. abreicherung während des Ausscheidungsprozesses vorgestellt. Zuletzt folgt die
Verallgemeinerung auf nicht-sphärische Ausscheidungen.
Wachstumsrate und Gleichgewicht an der Grenzfläche
An der Grenzfläche in einem Multikomponentensystem herrscht wie im Kapitel 4.5.2 abgeleitet
ein Flussgleichgewicht. Eine korrekte Berechnung der Ausscheidungszusammensetzung
und der Wachstumsrate erfordert die Ermittlung dieses Flussgleichgewichts in jedem
Zeitschritt. Die Abbildung 5.5 zeigt das typische Konzentrationsprofil an der Grenzfläche
für ein beliebiges Element i.
c
i
cP i
cI P
r
d= i ζir
dc/dx
Matrix
i
cM Abbildung 5.5: Analytische Beschreibung des Konzentrationsgradienten an der Grenzfläche
mit der effektiven Diffusionslänge di.
x
Solche Profile lassen sich für alle Elemente im System zeichnen. Die Lage der Grenzfläche
zwischen Matrix und Ausscheidung muss für alle Elemente identisch sein. Im Kapitel
4.5.2 konnte gezeigt werden, dass für die Berechnung des Flussgleichgewichts nur der
Konzentrationsgradient in der Matrix genau an der Grenzfläche bekannt sein muss. Daher
wird im Folgenden angelehnt an die Arbeit von Chen et al. (2008) zunächst ein Verfahren
zur Berechnung dieses Gradienten abgeleitet [Che08]. Zunächst wird das Konzentrationsprofil
des Legierungselements i betrachtet. Wir definieren die effektive Diffusionslänge di,