Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

5 Ergebnisse und Diskussion 62
Der Zusammenhang ist in der Abbildung 5.8 grafisch dargestellt. Die Gleichung gilt für dif-
fusionskontrolliertes Wachstum unter Annahme konstanter Zusammensetzungen in der
Ausscheidung und unter Vernachlässigung mechanischer Spannungen [Koz06]. Man er-
kennt, dass der Formfaktor F in der doppelt-logarithmischen Darstellung für ausreichend
große Ausscheidungen, typischerweise für Ausscheidungen größer als 100 nm, linear mit
dem Aspektverhältnis φ zusammenhängt und durch folgendes einfaches Potenzgesetz
beschrieben werden kann:
0,664
( ) 0,976·
F φ φ −
= (5.32)
Im Gegensatz dazu wird die Gleichung (5.30) bei sehr kleinen Ausscheidungen vom Ober-
flächeneinfluss Sk dominiert, und die Wachstumsrate ist in diesem Fall bei φ=1 maximal,
da dann das optimale Oberflächen- zu Volumenverhältnis vorliegt [Koz06].
Formfaktor F / -
10
1
Scheibe
100 nm
1 nm
0,5 nm
Platte
0,35 nm
0,1
0,1 1 10
Aspektverhältnis φ / -
Abbildung 5.8: Formfaktor F für die Wachstumsrate nicht-sphärischer Ausscheidungen in
Abhängigkeit vom Aspektverhältnis der Ausscheidung φ und dem Radius rk
Mit steigendem Radius reduziert sich aber dieser Einfluss rasch, und die Diffusion in der
Matrix beginnt zu dominieren (siehe Abbildung 5.8). Der Übergang zum Potenzgesetz
hängt von der Grenzflächenenergie und der Triebkraft ab. Da dieser Bereich von den sehr
groß werdenden TCP-Ausscheidungen rasch durchlaufen wird und weil das Aspektverhältnis
zu Beginn des Wachstums nicht bekannt ist, wird der Formfaktor in dieser Arbeit
vereinfachend mit der Gleichung (5.32) beschrieben. In allen Simulationen in dieser Arbeit
wird immer mit einer äquivalenten sphärischen Ausscheidung mit dem Radius rk gerechnet.
Zur Transformation auf die reale nicht-sphärische Ausscheidung muss also nur die Geschwindigkeit
v im Gleichungssystem (5.22) durch den Formfaktor F dividiert werden:
i i
− i i μM − μI
cP cI cIMi ξiR
1 i
( φ ) · ( )
F v
− = (5.33)