Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

4 Methoden der physikalischen Modellierung 45
nierenden Elements i mit den Konzentrationen der Matrix i
c M und der Grenzfläche i
c bzw.
i
c P [Sie07]:
U
c − c
i i
M I
i = i i
cP−cI I
(4.38)
Die Wachstumsgeschwindigkeit wird mit dem Diffusionskoeffizienten Di des ausschei-
dungsdominierenden Elements i und dem Radius der Ausscheidung r sowie dem halben
mittleren Abstand der Keimbildungsorte rlim mit einem quasi-stationären Ansatz berechnet
[Sie07]:
( )
( )
3
dr
D Z U ⎛ i
r ⎞
v= = ⎜U − 3 ⎟
dt r 2( Z U −1) ⎝ rlim
⎠
Dabei ist Z(U) ein Maß für die Übersättigung und folgendermaßen definiert:
( )
2
U + 8U
−U
(4.39)
Z U =
2U
(4.40)
Der halbe mittlere Abstand der Keimbildungsorte kann durch die Anzahl der Keimplätze
näherungsweise folgendermaßen abgeschätzt werden:
1
rlim
=
3 N
(4.41)
Durch den letzten Faktor in der Gleichung (4.39) wird berücksichtigt, dass sich die Diffusionsfelder
der einzelnen Ausscheidungen nach einiger Zeit überlappen und dadurch das
Wachstum gebremst wird, wenn das System das thermodynamische Gleichgewicht erreicht
hat. Der Volumenanteil der Ausscheidungsphase berechnet sich unter Annahme
sphärischer Ausscheidungen zunächst ohne Berücksichtigung eines eventuellen Zusammenstoßens
der Ausscheidungen mit dem Radius der Ausscheidungen r(t) und der Anzahl
der Keime N(t) wie folgt:
4 3
Ve() t = π r () t N() t
(4.42)
3
Bei großen Volumenanteilen der Ausscheidungsphase muss weiterhin beachtet werden,
dass nicht nur die Diffusionsfelder, sondern auch die Ausscheidungen selbst zusammenstoßen
und daher in ihrem Wachstum behindert werden. Dies kann mit Hilfe des klassischen
Johnson-Mehl-Avrami-Ansatzes berücksichtigt werden, wobei Ve das Volumen ohne
Modellierung der Behinderung ist [Sie07]:
( ) 1 exp( e ( ) )
0
V t = − − V t
(4.43)
Im Allgemeinen kann dieser Effekt aber bei der Ausscheidung der TCP-Phasen in Superlegierungen
vernachlässigt werden, da deren Volumenanteile meist unter 10% liegen. Für