Diplomarbeit von Michael Schindler

Appendix B
Einige einfache Modelle
Gesucht ist der Zusammenhang der kritischen Werte τ krit
S := ε krit TS/M und σkrit/σS,
die den Phasenübergang charakterisieren. Während einer Zeitspanne TS kommen alle
Daten von einem einzigen Punkt (hier von +1), anschließend wieder TS lang nur von
Punkt (−1). Diese Datenverteilung wird von einer Mischung aus zwei Normalverteilungen
gelernt, die beide die Breite σ und die Lernrate ε haben. Der Vorgang wird so oft
wiederholt, bis der Aufspaltungsprozess (durch beliebig langsame Parametervariation
bewirkt) stattfindet.
B.1 Eine kontinuierliche Näherung für mittlere τS
Während eines Zeitabschnitts, bei dem nur die Quelle bei (+1) feuert, lauten die Differenzengleichungen
von univar
∆c1(t) = εa1(t) (1 − c1(t))
∆c2(t) = εa2(t) (1 − c2(t)).
(B-1)
Wenn man stattdessen den Mittelwert µ := (c1 + c2)/2 und den halben Abstand ξ :=
(c1 − c2)/2 der Zentren betrachtet, erhält man eine wesentlich symmetrischere Form,
d
�
(1 − µ) =
dτ
d
ξ =
dτ
�� ,
�
−ξ + (1 − µ) tanh � (1−µ)���
.
−(1 − µ) + ξ tanh � (1−µ)�
�2
�2
(B-2)
Dabei wurde die differentielle Näherung in (2-21) verwendet. Wenn man die entsprechende
Differentialgleichung für den Ausdruck � ξ 2 −(1−µ) 2� aufschreibt, findet man die
Gleichung eines einfachen exponentiellen Zerfalls, deren Lösung auf die im folgenden
nützliche Gleichung
führt.
ξ 2 (τ) − � 1 − µ(τ) � 2 = e −2�� ξ(0) 2 − (1 − µ(0)) 2 �
(B-3)