Diplomarbeit von Michael Schindler

2.2 Analytische Behandlung von prototypischen Spezialfällen 57
2.2 Analytische Behandlung von prototypischen
Spezialfällen
Im hierarchischen Aufspaltungsprozess in Abb. 11 findet jeder einzelne der Phasenübergänge
für sich genommen relativ isoliert statt. Das ist durch Abb. 12c deutlich
geworden. Bei jedem Phasenübergang bricht das Codebuch in zwei Teile auf, und in
vielen Fällen kann davon ausgegangen werden, dass sich die beiden Teile anschließend
kaum beeinflussen. Die darauffolgenden Übergänge finden also wieder etwa dieselben
Bedingungen vor wie der erste. Das Verhalten beim ersten Phasenübergang ist dann
prototypisch für alle weiteren, und es lohnt sich, ihn genauer zu betrachten.
Zu diesem Zweck soll nun das bereits in Zusammenhang mit Abb. 26 vorgestellte Modell
eingehender diskutiert werden, da es das einfachste Beispiel für eine Datenfolge mit
Clusterstruktur und ausgeprägten Zeitkorrelationen darstellt. Der Datensatz besteht
nur aus zwei Werten (x = ±1), die jeweils TS-mal nacheinander präsentiert werden. Er
hat also genau eine Zeitskala TS und eine Raumskala, die durch seine Standardabweichung
σS =1 gegeben ist. In einem univar-Lerner mit zwei Codebuchzentren kann es
folglich nur einen einzigen Phasenübergang geben, der durch ein Paar von kritischen
Parameterwerten � εTS/2 �
krit und � �
σ/σS bestimmt ist.
krit
Nach der analytischen Lösung dieses einfachsten Modells in drei Näherungen soll anschließend
versucht werden, die gefundenen Aussagen auf Systeme mit den gleichen
räumlichen, aber etwas allgemeineren zeitlichen Eigenschaften auszuweiten.
2.2.1 Drei analytisch lösbare Spezialfälle
Die analytische Bestimmung der kritischen Parameterwerte aus der Differenzengleichung
(2-2) ist im allgemeinen Fall kaum möglich. Um dennoch quantitative Ergebnisse
zu bekommen, muss man Näherungen einführen, die den zu untersuchenden Parameterbereich
möglichst gut abdecken. Für das einfachste System aus zwei punktförmigen
Datenquellen mit dem Zeitskalen-Verhältnis τS bieten sich drei Näherungen an, die in
Abbildung 28 in der gleichen Reihenfolge visualisiert sind.
(a) Bei τS ≪ 1 ist ein sehr schnell schaltendes System oder ein sehr träges Codebuch
gegeben. Lerner und System sind hier dynamisch entkoppelt, es gibt immer ein
wohldefiniertes optimales Codebuch C ∗ , das wie die Datenquelle selbst vollständig
symmetrisch ist.
(b) Bei langsameren Systemen oder flexibleren Codebüchern (τS ≈ 1) kommt es zur
dynamischen Kopplung. Wie in Abb. 26b1 gezeigt, sind sich zwei Codebuchzentren
an ihren Umkehrpunkten am nächsten und entfernen sich dazwischen voneinander.
Es wird hier notwendig, die gesamte Codebuchentwicklung während der Zeitspanne
TS zu beobachten und so den Abstand zum Zeitpunkt (N +1) · TS aus dem Abstand
zu N · TS zu berechnen. Als Näherung ist hierzu notwendig, dass sich die
Codebuchzentren nie weit voneinander entfernen.