Diplomarbeit von Michael Schindler

−1
c1,
c2
B.1 Eine kontinuierliche Näherung für mittlere τS 101
(a)
1
0 t −→ 60
−1
c1,
c2
(b)
1
0 t −→ 800
Abbildung 51: Numerische Integration der Gleichung (B-1) mit ε=0.1 und σ=0.9 (a). Hier ist die
Approximation (B-9) für mittleres τS gültig, der Abstand der beiden Linien wird während TS kaum
größer als an den Endpunkten, während sie in (b) mit σ = 0.5 den klassischen Anwendungsfall der
Approximation für sehr große τS darstellt. Sie wird auf die Abb. 52 führen, in der das bewegliche
Neuron seinen Anfangspunkt auf der gestrichelten Linie bei t≈50 hat.
In der entarteten Phase gilt immer ξ(0) = ξ(τS) = 0. In der anderen Phase gibt es
dagegen von Null verschiedene Abstände, die während einer Periode stabil bleiben,
ξ(0) = ξ(τS) > 0. (B-4)
Jeder der dieser Abstände hat ein nach Gleichung (B-3) zugehöriges µ(0), welches die
Bewegung periodisch und symmetrisch macht (µ(τS) = −µ(0)). Nahe an der Phasenübergangskurve
unterscheidet sich diese Bewegung nur minimal vom Grenzzyklus
der entarteten symmetrischen Codebuchbewegung.
Der Umkehrpunkt dieser entarteten Bewegung ist schnell aus (B-3) mit ξ = 0 bestimmt.
Mit µ(τS) = −µ(0) bekommt man
µ(0) = − tanh
� �
τS
. (B-5)
2
Um zu untersuchen, ob sich µ(0) bei leichter Aufspaltung ändert, löst man (B-3) nach
µ0 := µ(0) auf und entwickelt diesen Anfangswert, als Funktion von ξ0 := ξ(0) aufgefasst,
nach Taylor. Unter der Annahme ξ(τ) ≈ ξ0, liefert diese keinen konstanten
und keinen linearen Term. Deshalb wird in diesem Fall die folgende Definition des
infinitesimalen Phasenübergangs (Typ I) verwendet:
ξ(0) = ξ(τS) mit ξ(0) → 0 und
µ(0) ist periodischer Anfangswert für ξ = 0.
Dabei sei o.E. ξ > 0, µ(0) < 0 und x = 1 während τ ∈ (0, τS).
(B-6)