Diplomarbeit von Michael Schindler

2.2 Analytische Behandlung von prototypischen Spezialfällen 59
In den anderen beiden Fällen, (b) und (c), ist unter Umständen damit zu rechnen,
dass bei großem ε Diskretisierungseffekte auftreten. Diese werden in Abschnitt 2.2.2
behandelt.
Approximation für sehr kleine τS
Sehr kleine Werte τS ≪ 1 bedeuten, dass während einer typischen Änderung von cr,
die ja auf der Zeitskala TL ≫ TS stattfindet, beide Datenquellen sehr oft präsentiert
werden. Die Dynamik des Codebuchs ist also fast die gleiche wie bei einem dynamischen
System, das in (2-21) nicht einzelne Punkte x nacheinander präsentiert bekommt,
sondern gleichzeitig beide Punkte x=±1. In einem solchen Lerner bleibt die Symmetrie
des Codebuchs immer streng erhalten, und man kann von c2 = −c1 ausgehen. Die
Differentialgleichung dieser Näherung mit zwei gleichzeitig feuernden Quellen lautet
d
dτ c1(τ) = 2a1(1) (1 − c1(t)) + 2a1(−1) (−1 − c1(t))
�
c1(t)
= −c1(t) + tanh
σ2 �
,
(2-24)
wobei ausgenutzt wurde, dass a1(−1) = a2(1). Nullsetzen der Gleichung liefert das
stationäre Codebuch C∗ , das in Abbildung 29 dargestellt ist,
� ∗ c
�
1
c ∗ 1 = tanh
σ 2
und c ∗ 2 = −c ∗ 1. (2-25)
Für σ ≤ 1 hat diese Gleichung nur eine reelle Lösung, weshalb das stationäre Codebuch
entartet ist. Für σ>1 spaltet die Lösung in zwei stabile (durchgezogene Linien
in Abb. 29) und einen instabilen Ast (gestrichelt) auf, es handelt sich also eine typische
Stimmgabel-Bifurkation. Da c2 = −c1 angenommen wird, bestimmt sich der
Phasenübergang im Lerner durch die Entartung der stabilen Attraktoren der Lerndynamik,
was auf die altbekannte Bedingung führt,
Abbildung 29: Das stationäre Codebuch für
den Fall sehr kurzer Lebensdauern TS bei
sehr langsamer Codebuchbewegung (τS ≪ 1).
Dargestellt sind die stabilen (durchgezogen)
und die instabile Lösung (gestrichelt) der
Näherung (2-25). Jedes Codebuch bewegt sich
bei festem σ/σS symmetrisch auf die beiden
stabilen Äste zu.
σkrit = 1 = σS. (2-26)
1
0
−1
0 1 σ/σS
c ∗ 1
c ∗ 2