Diplomarbeit von Michael Schindler

62 2. On-line Lernen mit univar
log 10 τS
3
2
1
0
−1
−2
−3
2.0 1.5
s = 0.1
0.5
1.0
−4
0 0.5 1 σ/σS
Abbildung 31: Phasendiagramm bei starker
Dynamikkopplung (Typ II). Dargestellt sind
die Kurven der kritischen Werte (τS, σ) nach
Gleichung (2-29) für verschiedene Abstandsparameter
s=2 (untere Linie) bis 0.1 (obere).
Als um den Anfangsabstand korrigierte Breite
wurde hier ˜σ=σ/1.4 verwendet.
sofort aus Abb. 26c1 ersichtlich, muss es dabei etwas vom alten Datenquellenort verschoben
sein. Diese Verschiebung kann in den Berechnungen durch ein vergrößertes σ
aufgefangen werden. Statt σ wird hier ˜σ = σ/|1 − c1(0)| verwendet. Das Szenario in
Abbildung 28c eignet sich für die Beantwortung der Frage, wie lange das zweite Neuron
braucht, um sich beim anderen einzufinden. Mit Gleichung (B-21) in Appendix B.3 ist
die Dauer τL angegeben, die das Neuron c1 aus Abb. 28c für ein Stück dieses Übergangs
benötigt (vgl. auch den Konturenplot in Abb. 53 dort).
Die Übergangsdauer kann direkt mit der Lebensdauer TS verglichen werden. Ist sie
kürzer, dann kann in der vorgegebenen Zeit die Annäherung der Zentren stattfinden,
der Phasenübergang ist noch nicht erreicht. Die Anfangsbedingung in Abb. 28c kann
in diesem Fall nicht in der umgekehrten Richtung für die nächste Lebensdauer TS wiederholt
werden, schließlich sind die Codebuchzentren dann fast entartet und vollziehen
einen gemeinsamen Grenzzyklus. Ist die Übergangszeit dagegen länger als TS, dann
erreicht das nachfolgende Neuron das vorausgelaufene nicht (Abb. 26c1). Sie behalten
ihren großen Abstand in der Anfangsbedingung, und in der nächsten Periode ist wieder
eines der beiden Zentren viel früher bei den Daten als das andere. In diesem Fall bleibt
die Aufspaltung des Codebuchs erhalten.
Die Frage nach einem Kriterium für den Phasenübergang führt also auf eine grobskalige
Definition (Typ II), da die Abstände in dieser Näherung während der gesamten
Dynamik relativ groß bleiben müssen. Eine weite Aufspaltung zwischen zwei Wechseln
im Systemzustand (vgl. Abb. 26c1) ist durch den Anfangszustand in Abb. 28c fester
Bestandteil der Näherung. Das Auffinden eines endlichen Abstandes, der während
der gesamten Lerndauer nicht unterschritten wird, zeigt den Phasenübergang im stark
dynamisch gekoppelten Regime an. Der Zusammenhang zwischen den kritischen Parametern
wird in Appendix B.3 bestimmt. Dort wird ein Abstandsparameter s eingeführt
und das Kriterium für den Phasenübergang so definiert, dass die beiden Zentren nach
der Zeit τS gerade den Abstand s˜σ haben sollen. Es werden die Kurven des Phasenübergangs
gefunden, die durch
τS(˜σ, s) = − ln(s˜σ) + 1
4
∞�
k=1
1
�
(2˜σ
k · k!
2 ) −k − (s 2 /2) k
�
(2-29)