Diplomarbeit von Michael Schindler

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112 C. Ergebnisse der Variationsrechnung (a) ǫA −1 0 1 x/σS ˜p ωA (b) Abbildung 54: (a) Die tatsächlich gelernte Dichte ˜p und der α-Stumpf (grau übermalt), sowie (b) die Zuordnung ωA der Punkte zum gelernten Datensatz eines ANTS-Trainings mit M = 60, ε = 0.01, σ = 0.037σS. Die Kurven sind im Vergleich zu Abbildung 42 wesentlich stärker gezackt, zeigen aber im Mittel das Verhalten der abgeschnittenen Dichte p c (grau übermalt), wie auch in den Gleichungen (C-31) und (C-32) gefordert. Die Abbildungen 42 und 54 liefern einen Eindruck, wie diese Approximation aussieht. In beiden Beispielen wurde der gleiche Datensatz gelernt, einmal von 12 und einmal von 60 Neuronen. Dementsprechend stark sind die gelernten Dichten und die Zuordnungsfunktionen ωA gezackt. Um die beiden Integrale (C-31) und (C-32) zu berechnen, muss man sich daran erinnern, dass A auf der Menge Γi eine Approximation von ǫA versucht. Da aber eine konstante Funktion nur dann durch Normalverteilungen beliebig gut approximiert werden kann, wenn diese auf einem regulären Gitter angeordnet sind, muss A etwa eine Jacobi’sche Thetafunktion sein (Adolphs, 1992). Für sehr kleine Gitterabstände l bleiben von einer Fourierentwicklung der Thetafunktion nur die ersten beiden Terme übrig, weshalb man für jede Dimension schreiben kann A(x) ≈ ǫA � 1 + 2 lime l→0 −2�2 (�/l) 2 � cos(2πx/l) =: ǫA + h(x), x ∈ Γi (C-33) Um nun das linke Integral in (C-32) auszurechnen, integriert man über Ω⊂Γi, �ª˜p = �ªp α ωA = �ª � 1 ln A/ǫA A − p p p + ln α α αǫA 1 0 � . (C-34) Wegen A(x)→ǫA reicht die lineare Entwicklung des Logarithmus aus, und da man das Integrationsvolumen in kleine Teilvolumina Ωi zerlegen kann, reicht auch eine lineare Entwicklung der (glatten) p-Terme. Ein solches Integral sieht dann folgendermaßen
aus: C.2 Warum selbstreferentielles Lernen die Datenverteilungsdichte abschneidet 113 �ªi 1 h(x) := A(x) − ǫA, ≈ ln A/ǫA ǫA , (C-35) h � ǫA ˜p = ǫA + h + h p � p p + ln α α αǫA ≈ = �ªi �ªi �ªi ǫA + γ1 ǫA, �ªi �ªi 1 dx + γ2 h(x) x h(x) dx (C-36) mit nicht näher spezifizierten reellen Zahlen γ1 und γ2. Der letzte Schritt folgt aus der Symmetrie des Cosinus in (C-33) bezüglich der x-Achse, woraus � 1/ cos = 0 folgt, und daraus, dass er, weil er in Ωi beliebig oft oszilliert, o.E. auch gerade ist, � x/ cos(x)dx = 0. Demnach ist ˜p zwar eine Distribution und nimmt als solche an keiner Stelle den Wert ǫA an, doch hat sie, als Verteilungsdichte betrachtet – die ja eigentlich nur unter einem Integral verwendet wird – dieselben Eigenschaften wie wie p c .
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Modelle zur Entkopplung von Lern- u
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iv Inhaltsverzeichnis 3 Neuronale G
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2 Einleitung a3 a4 a1 a2 Abbildung
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4 Einleitung Das Auffinden der pass
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6 Einleitung In der folgenden Gleic
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8 Einleitung Gleitende Mittelung vo
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10 Einleitung Dauer. Die akustische
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12 Einleitung kann, insbesondere, w
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14 1. Grundlagen schen Methoden zu
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16 1. Grundlagen lichkeitsdichte je
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18 1. Grundlagen Glockenkurve zuord
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28 1. Grundlagen Kapitel 2 gewidmet
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34 1. Grundlagen Die Verarbeitungsa
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Seite 100 und 101: 96 5. Zusammenfassung und Ergebniss
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Seite 112 und 113: 108 C. Ergebnisse der Variationsrec
Seite 114 und 115: 110 C. Ergebnisse der Variationsrec
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