Diplomarbeit von Michael Schindler

112 C. Ergebnisse der Variationsrechnung
(a)
ǫA
−1 0 1 x/σS
˜p
ωA
(b)
Abbildung 54: (a) Die tatsächlich gelernte Dichte ˜p und der α-Stumpf (grau
übermalt), sowie (b) die Zuordnung ωA der Punkte zum gelernten Datensatz
eines ANTS-Trainings mit M = 60, ε = 0.01, σ = 0.037σS. Die Kurven sind
im Vergleich zu Abbildung 42 wesentlich stärker gezackt, zeigen aber im Mittel
das Verhalten der abgeschnittenen Dichte p c (grau übermalt), wie auch in den
Gleichungen (C-31) und (C-32) gefordert.
Die Abbildungen 42 und 54 liefern einen Eindruck, wie diese Approximation aussieht.
In beiden Beispielen wurde der gleiche Datensatz gelernt, einmal von 12 und einmal
von 60 Neuronen. Dementsprechend stark sind die gelernten Dichten und die Zuordnungsfunktionen
ωA gezackt.
Um die beiden Integrale (C-31) und (C-32) zu berechnen, muss man sich daran erinnern,
dass A auf der Menge Γi eine Approximation von ǫA versucht. Da aber eine
konstante Funktion nur dann durch Normalverteilungen beliebig gut approximiert werden
kann, wenn diese auf einem regulären Gitter angeordnet sind, muss A etwa eine
Jacobi’sche Thetafunktion sein (Adolphs, 1992). Für sehr kleine Gitterabstände l bleiben
von einer Fourierentwicklung der Thetafunktion nur die ersten beiden Terme übrig,
weshalb man für jede Dimension schreiben kann
A(x) ≈ ǫA
�
1 + 2 lime
l→0 −2�2 (�/l) 2
�
cos(2πx/l) =: ǫA + h(x), x ∈ Γi (C-33)
Um nun das linke Integral in (C-32) auszurechnen, integriert man über Ω⊂Γi,
�ª˜p =
�ªp
α ωA =
�ª �
1
ln A/ǫA
A − p p p
+ ln
α α αǫA
1
0
�
. (C-34)
Wegen A(x)→ǫA reicht die lineare Entwicklung des Logarithmus aus, und da man das
Integrationsvolumen in kleine Teilvolumina Ωi zerlegen kann, reicht auch eine lineare
Entwicklung der (glatten) p-Terme. Ein solches Integral sieht dann folgendermaßen