Diplomarbeit von Michael Schindler

2.2 Analytische Behandlung von prototypischen Spezialfällen 63
gegeben sind. Sie sind in Abbildung 31 für verschiedene Werte des Abstandsparameters
s dargestellt. Wie man dort sieht, wird der genaue Wert von s im Bereich sehr großer
τS irrelevant, weshalb man den oberen Teil der Kurve als gültige und richtige Aussage
über den Phasenübergang akzeptieren muss. Dies ist gerade derjenige Bereich, für den
das Modell konstruiert wurde.
Als eine erste Zusammenfassung ist in Abbildung 32 der Vergleich aller drei Näherungen
mit Ergebnissen aus Simulationen dargestellt. Man sieht, dass die dort bestimmten
Parameter sehr gut den theoretisch vorhergesagten Kurven folgen.
Die Simulationen wurden alle mit relativ kleinem ε durchgeführt (ε = 0.01), wodurch
die Bedingung der Differentialnäherung (2-21) gut genug erfüllt ist. Um Retardierungseffekte
zu vermeiden, musste sehr langsam abgekühlt werden. Die Phasenübergänge
waren auch im dynamisch gekoppelten Bereich nach einer Mittelung der Codebuchzentren
über einige Zyklen TS eindeutig den kritischen Parametern (σ, ε) krit zuzuordnen.
Die Mittelung konnte problemlos durchgeführt werden, da das Annealing noch wesentlich
langsamer war als es für die ε-Retardierungseffekte notwendig gewesen wäre (10 7
Datenpunkte im unteren Teil der Kurve, wobei σ/σS von 1.1 bis 0.2 linear variiert
wurde, 10 8 Datenpunkte für den oberen Teil, mit σ/σS =0.6 bis 0.2).
log 10 τS
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0 0.5 1 σ/σS
Abbildung 32: Vergleich der in Simulationen sichtbaren Phasenübergänge mit
den analytischen Ergebnissen. Die Kurven aus den Abb. 30 und 31 (für s = 2
und 0.1) sind in dem Bereich guter Übereinstimmung schwarz eingezeichnet, dort
wo die zugrundeliegenden Näherungen nicht gelten, gepunktet. Das Annealingverfahren
in den Simulationen fand in allen Fällen sehr langsam statt, mit einer
Gesamtlerndauer von 10 7 bzw. 10 8 Datenpunkten.
2.2.2 Korrektur durch Diskretisierungseffekte
Bei der analytischen Lösung der oben behandelten Fälle wurde davon ausgegangen,
dass die Bedingung (2-22) gilt, und dass man die univar-Lernregel durch die Differentialgleichung
(2-21) annähern darf. Wie bereits besprochen, ist das im Fall τS ≪ 1