Diplomarbeit von Michael Schindler

110 C. Ergebnisse der Variationsrechnung
Die andere Möglichkeit, die Ableitung von Θ�verschwinden zu lassen, resultiert
in Θ�(ǫA −A) = 0, woraus wiederum A ≫ ǫA folgt. Dies widerspricht nicht nur
direkt dem Mechanismus des ANTS-Algorithmus, der ja genau diejenigen Punkte
x ignoriert, die zu A(x) ≫ ǫA führen könnten, sondern würde in Gleichung (C-20)
auf
λ1 = 0 (C-22)
führen, was (C-21) widerspricht.
Γi kann demnach nur aus Bereichen bestehen, wo A(x) knapp über oder unter
ǫA liegt. Wenn man dabei annimmt, dass (wegen des kleinen ε) alle Terme in
Gleichung (C-20) klein gegen die Ableitung Θ ′�(ǫA − A) sind, dann folgt
A(x) = e −�2 für alle x ∈ Γi, (C-23)
womit begründet ist, dass A in diesem Bereich eine Gleichverteilung approximiert.
Da hier aber gleichzeitig A ≈ ǫA gelten muss, weil oben der Fall A ≫ ǫA auf
Widersprüche führte, muss auch e −�2 ≈ ǫA sein. Da mit Verkleinerung von ε die
Funktion Θ�beliebig scharfkantig gemacht werden kann, kommt nichts anderes als
in Frage.
e −�2 = ǫA bzw. λ2 = − ln ǫA (C-24)
Man hat nun die Höhe des Plateaus als ǫA bestimmt. Außerdem ist A in Γi proportional
zu p. Wenn man nun voraussetzt, dass A am Übergang zwischen Γi und Γo stetig sei,
und außerdem bemerkt, dass die einzige auf Eins normierte Funktion, die ebenfalls eine
Plateauhöhe von ǫA hat und ansonsten proportional zu p ist, gerade der α-Stumpf p c
ist, dann folgt daraus die Behauptung
Der erste Lagrange-Parameter ist dann gerade λ1 = −1.
Weitere Überlegungen
A = p c . (C-25)
Im letzten Abschnitt wurden nur qualitative Aspekte der Funktion Θ�aus Gleichung
(C-20) benötigt, während sie nun genauer spezifiert werden soll. Die Aussagen und
Rechenschritte oben können vermutlich alle durch Verwendung genügend glatter Funktionen
p in einem mathematisch völlig exakten Sinne formuliert werden. Die folgenden
Bemerkungen würden, um sie genau zu fassen, einen nicht zu rechtfertigenden Aufwand
bedeuten. Alles was im Rest dieses Appendix gesagt wird, sollte nicht unter dem
Aspekt der mathematischen Wahrheit gelesen werden, sondern als Versuch, die bisher
verwendeten Größen ˜p, A und ωA genauer zu beschreiben.
Im strengen Sinne ist (C-20) keine gewöhnliche Differentialgleichung, sondern eine Differentialgleichung
von nichtlinearen Operatoren in einem Funktionenraum; Θ�(ǫA−A)