Diplomarbeit von Michael Schindler

60 2. On-line Lernen mit univar
Die Definition des Phasenübergangs ist hier im dynamisch entkoppelten Fall also identisch
mit derjenigen des randomisierenden univar: Er findet dort statt, wo das stabile
stationäre Codebuch gerade nicht mehr entartet ist, ein on-line Lernproblem gibt es
nicht.
Approximation für mittlere τS
Für größere Werte von τS kann nicht mehr von einer symmetrischen Aufspaltung ausgegangen
werden. Beide Zentren bewegen sich nach der Differentialgleichung (2-21) mit
unterschiedlicher Geschwindigkeit auf die gerade aktuelle Datenquelle zu, wie in Abbildung
28b durch verschieden lange Pfeile symbolisiert ist. Um den Phasenübergang zu
bestimmen, wäre eigentlich die exakte Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems
erforderlich, die im allgemeinen Fall nicht in analytischer Form vorliegt.
Lediglich für den trivialen Fall, nämlich für entartete Codebücher lässt sich eine Lösung
bestimmen. Sie besitzt einen Grenzzyklus, dessen Periode 2TS dieselbe ist wie diejenige
des Datenstroms (vgl. Abb. 26a1). In Appendix B.1 werden in Gleichung (B-5)
die Umkehrpunkte dieser Bewegung angegeben. In einem leicht aufgespalteten Codebuch,
das sich in der Nähe des entarteten Grenzzyklus befindet, sind die Umkehrpunkte
gleichzeitig diejenigen Punkte, an denen die Entfernung der Zentren während TS minimal
wird. Dazu sei nochmals auf die beiden Pfeile in Abb. 22a und auf Abb. 26b1
verwiesen.
Um den Phasenübergang zu charakterisieren, nähert man sich ihm von der Seite aufgebrochener
Codebücher. Je näher man ihm kommt, umso kleiner werden die Abstände,
insbesondere die Minimalabstände während einer Periode. Solange ein gegebener kleiner
Minimalabstand stabil ist, sich also nicht von Periode zu Periode verkleinert, bleibt
die Phasentrennung erhalten. Wenn sich ein kleiner Abstand beliebig weiter verkleinert,
befindet sich der Lerner auf der entarteten Seite der Phasenübergangskurve. Diese
liegt also genau dort, wo infinitesimal kleine Codebuchabstände stabil bleiben. Es handelt
sich hier also um eine infinitesimale Definition des Phasenübergangs. Übergänge
nach dieser Definition werde ich vom Typ I nennen, im Unterschied zum grobskaligen
Typ II, der weiter unten definiert wird.
Mit dieser Definition wird in Appendix B.1 der folgende Zusammenhang zwischen σkrit
und τ krit
S gefunden,
σkrit
σS
=
�
1 + tanh
� krit τ
�� �
S
2
1
2τ krit
S
�
1 − exp � −2τ krit
S
�� . (2-27)
Dabei wird angenommen, dass der Abstand der Codebuchzentren nicht nur an den
Umkehrpunkten, sondern während der gesamten Periode klein bleibt (vgl. Abb. 26b1
oder Abb. 51a). Dies ist, da die Abstände an den Umkehrpunkten ohnehin beliebig
klein sind, keine sehr starke Einschränkung.
Abbildung 30 zeigt das durch (2-27) definierte Phasendiagramm. Man sieht deutlich
die Abweichung des Phasenübergangs zu kleinen σ/σS-Werten, die schon in Abb. 27