Diplomarbeit von Michael Schindler
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102 B. Einige einfache Modelle<br />
Nun wird ξ nach (B-2) iteriert, wobei die Differentialgleichung für ξ zunächst in Fixpunktdarstellung<br />
aufgeschrieben und anschließend (B-3) eingesetzt wird,<br />
ξ(τS) = ξ0 +�S��=0<br />
�<br />
= ξ0 +�S<br />
0<br />
�<br />
ξ(τ+ε/M) − ξ(τ) ≈ ξ0 +�S<br />
dτ<br />
�<br />
− ξ(τ) +<br />
0<br />
dτ dξ<br />
dτ<br />
�<br />
ξ(τ) 2 + e −2�((1 − µ0) 2 − ξ 2 0 )<br />
(B-7)<br />
�<br />
ξ(τ)<br />
tanh<br />
σ2 �<br />
ξ(τ) 2 + e−2�((1 − µ0) 2 − ξ2 0 )<br />
� �<br />
. (B-8)<br />
Um dieses Integral näherungsweise berechnen zu können, soll nun eine Taylorentwicklung<br />
<strong>von</strong> ξ(τ; ξ0) in seinem Anfangswert ξ0 durchgeführt werden. Sie weist keinen<br />
konstanten Term auf, ferner wird angenommen, dass sie linear mit der Steigung 1 beginnt.<br />
Es wird hier also angenommen, dass der Abstand ξ(τ) während der gesamten<br />
Periode τ ∈ (0, τS) klein und ξ(τ) ≈ ξ0 bleibt. Diese Näherung ist in Abbildung 51a<br />
sicher erfüllt, in 51b dagegen nicht. Da die hier verwendete Phasenübergangsdefinition<br />
vom infinitesimalen Typ ist, handelt es sich um keine starke Einschränkung. Unter<br />
Vernachlässigung <strong>von</strong> Termen O(ξ 2 ) bekommt man<br />
ξ(τS) ≈ ξ0<br />
= ξ0<br />
�<br />
�<br />
1 +�S<br />
0<br />
�<br />
1 − τS +<br />
�<br />
dτ −1 +<br />
2 (1 − µ0)<br />
σ2 e −2���<br />
(B-9)<br />
2 (1 − µ0)<br />
2σ2 (1 − e −2�S<br />
�<br />
) . (B-10)<br />
Nach σ aufgelöst wird diese Gleichung zur Phasenübergangsbedingung (2-27).<br />
B.2 Die diskrete Formulierung der Näherung für<br />
mittlere τS<br />
Hier soll nun die diskrete Version <strong>von</strong> Gleichung (2-27) gefunden werden. Dazu werden<br />
die einzelnen Schritte der Berechnung oben statt mit Integralen mit Summen<br />
durchführt. Wieder ist eine exakte Lösung in der Näherung ξ(τ)≈ξ(0) möglich.<br />
Das direkt aus (B-1) durch Transformation auf den Mittelwert µ := (c1+c2)/2 und den<br />
halben Abstand ξ := (c1−c2)/2 zu bestimmende Pendant zu Differentialgleichung (B-2)<br />
lautet<br />
∆(1 − µ) = ε<br />
�<br />
�<br />
2<br />
�<br />
,<br />
∆ξ = ε<br />
�<br />
−ξ + (1 − µ) tanh<br />
2<br />
� (1−µ)��<br />
�2<br />
�<br />
(B-11)<br />
.<br />
−(1 − µ) + ξ tanh � (1−µ)�<br />
�2
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